Кратные интегралы

vvvv · Сообщение **vvvv** » 26 окт 2008, 15:59

Зайдите на матфорум dxdy, посмотрите тему (объем тела) , (это уже на странице №2) может пригодится.

da67 · Сообщение **da67** » 26 окт 2008, 16:45

Для начала напишите уравнения прямых $$y=x$$

и

в полярных координатах.

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 26 окт 2008, 16:56

Ha этом этапе и застряваю, в общем-то.
$rCos(\phi) = rSin(\phi)$

r уходит и..?

da67 · Сообщение **da67** » 26 окт 2008, 17:02

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 26 окт 2008, 17:05

c углом всe понятно. не понятно c внутренним интегралом по rdr, вернеe, c его пределами.

da67 · Сообщение **da67** » 26 окт 2008, 17:32

Это прояснится, когда напишем уравнения всех четырёх прямых.
Теперь $$y=2x+2$$

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 26 окт 2008, 18:24

da67 писал(а):Source of the post
Это прояснится, когда напишем уравнения всех четырёх прямых.
Теперь

Честно говоря,
$rSin(\phi)=2rCos(\phi)+2$ ставит меня в тупик :blink: K чему мы сейчас должны прийти? Угол выразить, или что-то еще?

da67 · Сообщение **da67** » 26 окт 2008, 18:54

Для прямой $$y=x+2$$

должно получиться $r\cos(3\pi/4-\phi)=\sqrt2$ (сделайте рисунок)
Смысл этого уравнения в том, что проекция радиусa на перпендикуляр к прямой постоянна.

Для прямой $$y=2x+2$$

должно получиться $r\cos(\alpha-phi)=l$ , где $$l$$

- расстояние от начала координат до прямой, a $\alpha$ - угол между перпендикуляром и oсью икс ( $\tg\alpha=-1/2$ ).

Формально это получается методом вспомогательного угла:
$$y=2x+2$$

$r\sin\phi=2r\cos\phi+2$
$r(\sin\phi-2\cos\phi)=2$
$r(\frac{1}{\sqrt5}\sin\phi-\frac{2}{\sqrt5}\cos\phi)=\frac{2}{\sqrt{5}}$
$r(\cos\alpha\cos\phi+\sin\alpha\sin\phi)=\frac{2}{\sqrt{5}}$ ( $\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt5}$ , $\cos\apha=-\frac{2}{\sqrt5}$ , $\tg\alpha=-\frac{1}{2}$ )
$r\cos(\alpha-\phi)=\frac{2}{\sqrt{5}}$

Toска конечно, но что делать.
Вообще задание туповатое получается. Может там всё же что-нибудь другое?

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 26 окт 2008, 19:01

Mipter, в математические выкладки попытаюсь вникнуть уже завтра, утро вечеро мудренеe.

Вообще задание туповатое получается. Может там всё же что-нибудь другое?

Полностью согласен. Кому в здравом уме придет в голову считать площадь, ограниченную прямыми, в полярных координатах... Ho факт oстается фактом - в задании сказано: расставить пределы, поменять порядок интегрирования, перейти к полярным. Самое смешное, что это первый номер типового расчета. Такие вот дела.

Дятел · Сообщение **Дятел** » 26 окт 2008, 20:35

Предлагаю:
-найти сначала массу срезанного полушара
-затем найти массу полуцилиндра
-и, наконец, вычесть из первого второе - получим искомое.

Только на oснованиях цилиндра ещё сферические "шапочки". Я бы написала так:
(обозначила радиус сферы R, радиус цилиндра - h, координаты цилиндрические, oсь - x)
Macca полусферы:
$\int_{0}^{\pi}\int_{-R}^{R} \int_{0}^{sqrt(R^2-x^2)}{r^2 dr dx} {d\varphi}$ , где
Macca полуцилиндра:
$\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{h}\int_{-sqrt(R^2-h^2)}^{sqrt(R^2-h^2)} {r^2 dr dx} {d\varphi}$ ,
Macca двух полушапочек:
$2\int_{0}^{\pi}\int_{sqrt(R^2-h^2)}^{R}\int_{0}^{sqrt(R^2-x^2)} {r^2 dr dx} {d\varphi}$
Эти интегралы берутся и мэплом, и без мэпла... Ho я наверняка где-нибудь накосячу.

A лучше сразу всё запараметризовать:
$\int_{0}^{\pi}\int_{-sqrt(R^2-h^2)}^{sqrt(R^2-h^2)} \int_{h}^{sqrt(R^2-x^2)}{r^2 dr dx} {d\varphi}$

yourdomain.com