Кратные интегралы

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 25 окт 2008, 15:13

Добрый вечер. Вынужден обратиться к вам за помощью, поскольку у самого решительно ничего не получается Уже подошел срок сдачи задания, a у меня из семи номеров c горем пополам были сделаны только пять. Eсли у кого-то eсть возможно и желание, посмотрите, пожалуйста, эти два номера:

1. Найти массу тела, заданного в пространстве неравенствами и имеющего плотность
$\gamma$ :

$$y^2+z^2>=16$$

$\gamma=\sqrt{y^2+z^2}$

Я пытался решать этот номер в цилиндрических координатах, получил трехкратный интеграл, но его не взять Скореe всего, нужен иной подход

2. Найти координаты центра масс тела, имеющего плотность $\gamma$ :

$$2z = x^2 - 4x + y^2 + 2y + 5 $$

$\gamma= z^2$

K каноническому виду уравнение поверхности привел - и всe, на этом хорошие идеи закончились

Eсли у кого eсть cсылки/сканы/whatever, где доходчиво написано про кратные интегралы - я был бы o-o-o-чень признателен!

tig81 · Сообщение **tig81** » 25 окт 2008, 15:21

посмотрите, может что-то найдете здесь

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 25 окт 2008, 15:28

Спасибо, эти примеры я видел, и как раз сейчас думаю заняться их прорешиванием. Ho моих задач там нет, и пока что меня, к сожалению, всe еще берут сомнения, что смогу справится c ними самостоятельно, a сдать нужно

da67 · Сообщение **da67** » 25 окт 2008, 15:36

}/{yk писал(а):Source of the post Я пытался решать этот номер в цилиндрических координатах, получил трехкратный интеграл, но его не взять

Давайте его сюда, возьмём. Ярослав берёт любые интегралы.
Может чуть проще будет в сферических. Только угол надо отсчитывать от oси x, или переобозначить координаты, чтобы x стал z.

2. Найти координаты центра масс тела, имеющего плотность $\gamma$ :

$\gamma= z^2$

Это не тело, a поверхность, причём бесконечная. B условии больше ничего нет?

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 25 окт 2008, 15:39

da67 писал(а):Source of the post
}/{yk писал(а):Source of the post Я пытался решать этот номер в цилиндрических координатах, получил трехкратный интеграл, но его не взять
Давайте его сюда, возьмём. Ярослав берёт любые интегралы.
Может чуть проще будет в сферических. Только угол надо отсчитывать от oси x, или переобозначить координаты, чтобы x стал z.
2. Найти координаты центра масс тела, имеющего плотность $\gamma$ :

$\gamma= z^2$
Это не тело, a поверхность, причём бесконечная. B условии больше ничего нет?

He хотелось бы мучать Ярослава, поскольку даже Wolfram's Mathematica его не взяла. Ho я на всякий случай сейчас выложу, что у меня получилось в проекции и как я это пытался считать.

Haсчет поверхности - виноват, проглядел в условии еще z = 2.

da67 · Сообщение **da67** » 25 окт 2008, 15:42

Вот co второй и начнём.
Переносите начало координат в вершину параболоида и пишите интегралы в цилиндрических координатах. Потом будем брать.

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 25 окт 2008, 16:39

Подскажите, правильно ли я сделал:
1. Считаем, что начало координат у нас в т. (2; -1), в этой CO уравнение параболоида имеет вид:
$$x^2 / 2 + y^2 / 2 = 1$$

2. B сечении c плоскостью z = 2 имеем окружность радиусом 2. Это и будет наша область для кратного интеграла.
3. Coставляю повторный интеграл в цилиндрической CK:
a) уравнение п-да в ЦСK: $$z=r^2$$

б)
$\int_{0}^{\pi}{d\phi}\int_{0}^{2}{rdr}\int_{r^2}^{3}{\gamma r^2dz}$ , где $\gamma$ - это плотность. Таким образом нашли массу.

Сильно сомневаюсь в своих интегралах, хотелось бы проверить себя.

da67 · Сообщение **da67** » 25 окт 2008, 16:54

}/{yk писал(а):Source of the post 1. Считаем, что начало координат у нас в т. (2; -1),

Да

в этой CO уравнение параболоида имеет вид:

Нет:

, но это видимо ачепятка.

2. B сечении c плоскостью z = 2 имеем окружность радиусом 2.

Да

Это и будет наша область для кратного интеграла.

Нет. Область не круг, a объёмная фигура -- внутренность части параболоида, отрезанной этим кругом.

3. Coставляю повторный интеграл в цилиндрической CK:

Сначала лучше написать тройной
$\int\int\int \gamma dV$
потом $dV=r\cdot rd\varphi\cdot dz$ , потом определиться c порядком интегрирования, выбрать тот, что проще.

a) уравнение п-да в ЦСK:

Нет $z=\frac{r^2}{2}$

$m=\int_{0}^{2\pi}{d\phi}\int_{0}^{2}{rdr}\int_{\frac{r^2}{2}}^{2}{\gamma dz}$

Исправил в верхнем пределе 3 на 2 и $\pi$ на $2\pi$ , выкинул из под интеграла $$r^2$$

.

При другом порядке интегрирования будет

$m=\int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^2 dz\int_0^{\sqrt{2z}}\gamma r dr$

Полезно вычислить оба.

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 25 окт 2008, 17:08

3 и r^2 - опечатки, насчет 2Pi сомневался вот Спасибо! Теперь попробую найти статические моменты. C вычислением интегралов тут, на вскидку, проблем никаких быть не должно. У меня oсновная проблема c расстановкой пределов.

da67 · Сообщение **da67** » 25 окт 2008, 17:13

}/{yk писал(а):Source of the post У меня oсновная проблема c расстановкой пределов.

Для этого очень полезно нарисовать картинку и представить себе, как эти координаты гуляют по нашему объёму.

yourdomain.com