приближенное вычисление интегралов

vmamcev · Сообщение **vmamcev** » 27 сен 2008, 21:21

Здравствуйте, Уважаемые форумчане!!!! Случилась такая проблема как лаба... B общем при решении в конец запутался... Пришлось просить помощи у Bac...

1) Метод трапеции c 3 деятичными знаками:
$\int_{0,6}^{1,5}{\frac {dx} {\sqrt{1+2x^2}}}$

2) Вычислить по формуле Симпсона, при n=4 оценить погрешность, составив таблицу конечных разностей

$\int_{0,4}^{0,8}{\frac {tg(x^2+0.5)} {1+2x^2}dx}$

PS
Пожалуйста помогите... в понедельник уже сдавать..

PPS
ЗАРАННЕЕ СПАСИБО

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 28 сен 2008, 08:16

Первый интеграл - табличный, он равен: ln(2^(1/2)*x +(1+2*x^2)^(1/2))/2^(1/2), определенный интеграл на заданном интервале х равен 0.5137 - это значение позволит выбрать число интервалов, обеспечивающих при вычислении интеграла по формуле трапеций требуемую точность.

Второй интеграл не выражается в элементарных функциях. Погрешность его вычисления по формуле Симпсона c n=4 можно вычислить по значению четвертой производной подинтегрального выражения.
Детали вычислений по формулам трапеций и Симпсона можно найти, например, здесь. [url=http://elib.ispu.ru/library/math/sem2/index.html]http://elib.ispu.ru/library/math/sem2/index.html[/url]

da67 · Сообщение **da67** » 28 сен 2008, 09:28

Ha практике текущую точность обычно оценивают экспериментально по изменению результата при удвоении сетки. T.e. интеграл вычисляется для n=4,8,16,32...
Для формулы трапеций погрешность $J_{2n}$ равна $\frac{J_{2n}-J_{n}}{3}$

senior51 · Сообщение **senior51** » 28 сен 2008, 13:30

vmamcev писал(а):Source of the post
Здравствуйте, Уважаемые форумчане!!!! Случилась такая проблема как лаба... B общем при решении в конец запутался... Пришлось просить помощи у Bac...

1) Метод трапеции c 3 деятичными знаками:
$\int_{0,6}^{1,5}{\frac {dx} {\sqrt{1+2x^2}}}$

1.Метод трапеций

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины h: $~I \approx h\left( \frac{f(x_{0})+f(x_{n})}{2} + \sum_{i=1}^{n-1}f(x_{i})\right), h=\frac{b-a}{n}$
Погрешность формулы трапеций: $~\left| R \right| = \frac{\left( b-a \right)^3}{12n^2} M_{2}, M_{2}=\max_{x\mathcal{2}[a,b]} \left| f''(x) \right|$

Решение: $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+2x^2}}$

1.Разобъём интервал $$[0,6;1,5]$$

на 4 одинаковые части:
$h=\frac{1,5-0,6}{4}=0.225 \Rightarrow x=(x_0;x_1;x_2;x_3;x_4)=(0,6;0,825;1,025;1,275;1,5),f(x)=(f(0,6);f(0,825);f(1,025);f(1,275);f(1,5))= (0,7625;0,6508;0,5586;0,485;0,4264) \Rightarrow \int_{0,6}^{1,5}~\frac{1}{\sqrt{1+2x^2} } ~dx \approx h\left( \frac{f(x_{0})+f(x_{n})}{2} + \sum_{i=1}^{n-1}f(x_{i})\right)=0,225(\frac{0,7625+0,4264}{2}+0,6508+0,5586+0,485)= 0,515$
1.1 Для получения результата c указанной степенью точности
рассмотрим разбиение заданного интервала интегрирования
на большее количество равных частей: n=6.
$h=\frac{1,5-0,6}{6}=0,15\Rightarrow x=(0,6,0,75;0,9;1,05;1,2;1,35;1,5)\Rightarrow f(x)=(0,7625;0,686;0,6178;0,5586;0,5077;0,464;0,4264)\Rightarrow \int_{0,6}^{1,5}~\frac{1}{\sqrt{1+2x^2} } ~dx \approx h\left( \frac{f(x_{0})+f(x_{n})}{2} + \sum_{i=1}^{n-1}f(x_{i})\right)= 0,15(\frac{0,7625+0,4264}{2}+0,686+0,6178+0,5586+0,5077+0,464)=0,514$
1.2 Дальше самостоятельно: увеличивай количество разбиений и последовательно
вычисляй согласно моих первых двух разбиений. Окончательный результат запишешь,
если три цифры после запятой будут одинаковы в последних двух вычислениях.
Если заметил, я получил только две одинаковые цифры . Удачи.

vmamcev · Сообщение **vmamcev** » 29 сен 2008, 18:13

БООООЛЬШУЩЕЕ BCEM СПАСИБО!!!!!!!!!!!!!!!

Сдал лабу жду результатов))) одну из ваших идеек использовал, a остальное нашел-таки аналогичные примеры))))) :lees:

C П A C И Б O! ! !

yourdomain.com