Ответ зависит от задачи. Есть задачи, для которых никакой метод не поможет. Например то же решение системы двух уравнений c двумя неизвестными. Наглядно это можно представлять себе, как нахождение точки пересечения двух прямых на плоскости. Если прямые немножко "шевелятся" (их положение известно приближённо), то ясно, что точно решить задачу нельзя. Понятно, однако, что для почти перпендикулярных прямых неопределённость ответа будет примерно того же порядка, что и неопределённость положения прямых, a вот для почти параллельных прямых точка пересечения улетает очень далеко даже при небольшом их шевелении.
Выводы:
1. Один и тот же метод может оказаться и хорошим и плохим в зависимости от конкретных значений параметров задачи.
2. Есть задачи, которые никаким методом не решить хорошо. Их принято называть плохо обусловленными.
3. Для хорошо обусловленной задачи уже методы можно разделить на хорошо и плохо обусловленные. Всем известное правило Крамера -- пример ужасного метода (как по точности, так и по производительности), который никогда не используется.
Количественно обусловленность можно охарактеризовать так называемым числом обусловленности. Обычно его определяют как отношение относительных ошибок результата и входных данных в наихудшем возможном варианте. T.e. чем больше, тем хуже.
Ho вот вопрос: как проверить метод?
Зависит o метода
Универсального рецепта конечно нет, но есть достаточно универсальные разумные идеи.
Например, теоретическая точность многих методов зависит от параметра, значение которого можно менять. Для вычисления интегралов и решения дифуров таким параметром является шаг сетки. Можно уменьшать шаг вдвое и смотреть, что будет. Потом ещё вдвое и т.д. Если результаты ведут себя так, как предсказывает теория, это успокаивает, позволяет сделать обоснованное заключение o достигнутой точности и принять решение o завершении вычислений.
Можно смотреть, как меняется результат при увеличении разрядности вычислений.