помогите пожалуйсто c интегралами и рядами тейлора/макларена

Marisha · Сообщение **Marisha** » 24 апр 2008, 11:43

Огромная просьба помочь co следуюшим
{www.}lib{.}mexmat{.}ru/math/109f345f50577ca5bc65fb20dfb1def782{.gif }

uniquem · Сообщение **uniquem** » 24 апр 2008, 14:17

$\int arcsin(2x)dx$
используем метод интегрирования по частям...
$U=arcsin2x, dU=\frac {2} {\sqrt{1-4x^2}}dx$
$$dV=dx, V=x$$

$\int arcsin(2x)dx=xarcsin2x- \int \frac {2x} {\sqrt{1-4x^2}}dx=xarcsin2x+\frac {1} {4}\int \frac {d(1-4x^2)} {\sqrt{1-4x^2}}=xarcsin2x+\frac {1} {2}\sqrt{1-4x^2}+C$

$\int \frac {36dx} {(x+2)(x^2-2x+10)}$

$\frac {36} {(x+2)(x^2-2x+10)}=\frac {A} {x+2}+\frac {Bx+C} {x^2-2x+10}$

$$36=A(x^2-2x+10)+(Bx+C)(x+2)$$

$\{{A+B=0 \\ -2A+2B+c=0 \\ 10A+2C=36}$

$$A=2, B=-2, C=8$$

$\int \frac {36dx} {(x+2)(x^2-2x+10)}=\int \frac {2dx} {x+2}-2\int \frac {x-4} {x^2-2x+10}dx$

$\int \frac {2dx} {x+2}=2ln|x+2|$

$-2\int \frac {x-4} {x^2-2x+10}dx=-2\int \frac {x-1-3} {(x-1)^2+9}dx=-2\int \frac {x-1} {(x-1)^2+9}dx+6\int \frac {dx} {(x-1)^2+9}=-ln|x^2-2x+10|+2arctg\frac {x-1} {3}$

$\int \frac {36dx} {(x+2)(x^2-2x+10)}=2ln|x+2|-ln|x^2-2x+10|+2arctg\frac {x-1} {3}+C$

nefus · Сообщение **nefus** » 24 апр 2008, 14:54

nefus · Сообщение **nefus** » 24 апр 2008, 15:06

nefus · Сообщение **nefus** » 24 апр 2008, 15:29

3) $\int \frac{6sin(x)+cos(x)}{1+cos(x)}dx$

$\int \frac{6sin(x)+cos(x)}{1+cos(x)}dx=6\int \frac{sin(x)}{1+cos(x)}dx+\int \frac{cos(x)}{1+cos(x)}dx=-6\int \frac{1}{1+cos(x)}d(1+cos(x))+\int \frac{cos(x)}{1+cos(x)}dx$
Далее второй интеграл домножим и разделим на $$1-cos(x)$$

.
$I=-6ln(1+cos(x))+\int \frac{cos(x)-cos^2(x)}{1-cos^2(x)}dx=-6ln(1+cos(x))+\int \frac{cos(x)}{1-cos^2(x)}dx-\int \frac{cos^2(x)}{1-cos^2(x)}dx=$
$=-6ln(1+cos(x))+\int \frac{1}{1-cos^2(x)}d(sin(x))-\int \frac{cos(x)}{1-cos^2(x)}d(sin(x))=-6ln(1+cos(x))+\int \frac{1}{sin^2(x)}d(sin(x))-\int \frac{cos(x)}{sin^2(x)}d(sin(x))=$
$=-6ln(1+cos(x))-\frac{1}{sin(x)}+\int cos(x)d(\frac{1}{sin(x)})=-6ln(1+cos(x))-\frac{1}{sin(x)}+\frac{cos(x)}{sin(x)}+\int \frac{sin(x)}{sin(x)}dx=$
$=-6ln(1+cos(x))-\frac{1}{sin(x)}+ctg(x)+x+C$

nefus · Сообщение **nefus** » 24 апр 2008, 15:53

4) $\int \frac{dx}{(x+1)\sqrt{1-x-x^2}}$

$\int \frac{dx}{(x+1)\sqrt{1-x-x^2}}=\int \frac{dx}{(x+1)\sqrt{1+(x+1)-(x+1)^2}}=|\frac{1}{x+1}=t; x+1=\frac{1}{t}; dx=-\frac{1}{t^2}dt|=\int \frac{dt}{t^2\frac{1}{t}\sqrt{1+\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}}}=\int \frac{dt}{\sqrt{t^2+t-1}}=$
$=\int \frac{d(t+\frac{1}{2})}{\sqrt{(t+\frac{1}{2})^2-\frac{5}{4}}}=ln((t+\frac{1}{2})+\sqrt{(t+\frac{1}{2})^2-\frac{5}{4}})+C$
Далее делаем обратную замену:
$I=ln((\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2})+\sqrt{(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2})^2-\frac{5}{4}})+C$
Далее сами преобразуете.

nefus · Сообщение **nefus** » 24 апр 2008, 16:53

7) $\int \frac{\sqrt{x}}{1-\sqrt{\sqrt{x}}}dx$

$\int \frac{\sqrt{x}}{1-\sqrt{\sqrt{x}}}dx=|x^{\frac{1}{4}}=t; x=t^4; dx=4t^3dt|=4\int \frac{t^2t^3}{1-t}dt=-4\int \frac{t^4-t^5}{1-t}dt+4\int \frac{t^4}{1-t}dt=$
$=-4\int t^4dt-4\int \frac{t^3-t^4}{1-t}dt+4\int \frac{t^3}{1-t}dt=-\frac{4}{5}t^5-\frac{4}{4}t^4-4\int \frac{t^2-t^3}{1-t}dt+4\int \frac{t^2}{1-t}dt=$
$=-\frac{4}{5}t^5-t^4-\frac{4}{3}t^3-4\int \frac{t-t^2}{1-t}dt+4\int \frac{t}{1-t}dt=-\frac{4}{5}t^5-t^4-\frac{4}{3}t^3-\frac{4}{2}t^2-4\int \frac{1-t}{1-t}dt+4\int \frac{1}{1-t}dt=$
$=-\frac{4}{5}t^5-t^4-\frac{4}{3}t^3-2t^2-4t+4ln(1-t)+C$

Далее делаем обратную замену:
$I=-\frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}}-x-\frac{4}{3}x^{\frac{3}{4}}-2x^{\frac{1}{2}}-4x^{\frac{1}{4}}+4ln(1-x^{\frac{1}{4}})+C$

Marisha · Сообщение **Marisha** » 25 апр 2008, 14:46

огромный сенк тем, кто откликнулся очень выручили!

bot · Сообщение **bot** » 25 апр 2008, 15:12

Может быть вот эта реакция Мариши (он или она же - Тарасек) немного остудит доброхотов, которым делать нечего, как решать домашку за лодырей:

--mS--:

Да ему уже всё давно решили Ha "портале естественных наук"

Tapacek:

MC прав ) свиньи отдайте мой бисер )
3аместо того, чтобы помочь вы тратили свои силы в пустую: на демонстрацию своего оскала...
ХАХА! Смеюсь вам в лицо или что у вас там! Жалкие барыги.

[url=http://lib.mexmat.ru/forum/viewtopic.php?p=115280#115280]http://lib.mexmat.ru/forum/viewtopic.php?p=115280#115280[/url]

venja · Сообщение **venja** » 25 апр 2008, 16:20

Да уж!

Призываю не торопиться c подробными решениями стандартных задач!
Надо как-то различать халявщиков.
B душе они такие же хамы и жлобы, как этот трансвестит или "волшебный танцор".

yourdomain.com