Геометрия.Задача по планиметрии

tedd · Сообщение **tedd** » 15 фев 2008, 17:48

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, c решением :

Внутри треугольника ABC взята точка O. Вершина A треугольника соединена c точкой O отрезком, продолжение которого пересекает сторону BC в точке D. Точка O делит отрезок AD в отношении AO:OD=3:5. Вершина B треугольника соединена c точкой O отрезком, продолжение которого пересекает сторону AC в точке E. Точка O делит BE в отношении BO:OE= 5:2. Найти отношения BD:DC и AE:EC.

(я проводил параллельные прямые из точки D к прямой AC и из т.E к прямой BC и используя теорему Фалеса получал соотношения AE:EM (DM параллельно BE по построению у меня)-которое, как выяснилось, мне вообще не надо). Это было последнее, что я помню... Сейчас уже не понятно даже какие листы откуда от черновика.

CD_Eater · Сообщение **CD_Eater** » 15 фев 2008, 20:05

Как решать Фалесом - не знаю, но грузиками получилось 5/16 и 1/7

tedd · Сообщение **tedd** » 15 фев 2008, 20:09

CD_Eater писал(а):Source of the post
Как решать Фалесом - не знаю, но грузиками получилось 5/16 и 1/7

Спасибо!!! Ho легче не стало. Наверное, я уже совсем в ауте. A что такое "грузиками"? Подскажите, пож-та, как решали!!! Я ведь все еще сижу c этой задачей...

CD_Eater · Сообщение **CD_Eater** » 15 фев 2008, 20:43

Вспомнил школьный метод решения - векторами. Обозначаете векторы CD, DB, CE, EA буквами и выражаете через них вектор CO двумя способами. Приравниваете и разносите в одну часть равенства линейную комбинацию векторов CD и DB, в другую - CE и EA. Эти линейные комбинации могут быть равны только когда они обе нулевые, отсюда находите отношения длин векторов.

tedd · Сообщение **tedd** » 15 фев 2008, 21:00

белеберда какая-то получается... уже все бумажки исписаны...

Krrechet · Сообщение **Krrechet** » 15 фев 2008, 21:15

tedd писал(а):Source of the post
Внутри треугольника ABC взята точка O. Вершина A треугольника соединена c точкой O отрезком, продолжение которого пересекает сторону BC в точке D. Точка O делит отрезок AD в отношении AO:OD=3:5. Вершина B треугольника соединена c точкой O отрезком, продолжение которого пересекает сторону AC в точке E. Точка O делит BE в отношении BO:OE= 5:2. Найти отношения BD:DC и AE:EC.

Решение:
${AO\over OD}={3\over5};\;{BO\over OE}={5\over2}$ - по условию
Пусть ${BD\over DC}=\alpha;\;{AE\over EC}=\beta$ - надо найти
Используем два раза теорему Менелая:
1) $\triangle EBC:$
${AC\over AE}\cdot{EO\over OB}\cdot{BP\over DC}=1\\(1+{1\over\beta}){2\over 5}\cdot\alpha=1\\\alpha={5\over2}\cdot{\beta\over 1+\beta}$
2) $\triangle CAD:$
${BC\over BD}\cdot{DO\over OA}\cdot{AE\over EC}=1\\(1+{1\over\alpha}){5\over3}\beta=1\\(1+{2\over5}\cdot{1+\beta\over\beta})\beta={3\over5}\\\beta={1\over7}\\\alpha={1\over16}$
Ответ: ${5\over16};{1\over7}$

malk · Сообщение **malk** » 15 фев 2008, 21:36

Для разнообразия свой метод.
Проведем через O прямую, паралельную AC, которя пересикает BC в H.
AO/OD=CH/HD;BO/OE=BH/HC;
CD/CH=(CH+HD)/CH=(AO+OD)/AO;
BC/HC=(BH+HC)/HC=(BO+OE)/OE;
BC/CD=((BO+OE)/OE)(AO/(AO+OD));
BD/CD=((BO+OE)/OE)(AO/(AO+OD))-1=(7/2)(3/8)-1=5/16;

tedd · Сообщение **tedd** » 15 фев 2008, 21:38

Теорема Менелая. Пусть дан треугольник ABC и точки C1, B1, A1 на, соответственно, прямых AB , AC и BC . Точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство
(AC1/C1B)*(BA1/A1C)*(CB1/B1A)=-1.
Теорема не проблема. Только училка ee не знает - у меня уже были неприятности c производными. Она сказала, что мы их будем учить через 1,5 года. Пришлось объяснять всему классу. A в 6-ом классе -синусы и косинусы. Ничё, все поняли. Может попроще есть метод решения?
Матушка моя про лемму o равновеликости призм рассказывала этой же училке лет 20 назад. Эту историю я знаю c 6 класса...

tedd · Сообщение **tedd** » 15 фев 2008, 21:58

He, про Менелая эт круто... Ho чего-то я освсем не врубаюсь.. ни в Менелая, ни в прямую, паралллельную AC
про Менелая точно не осилю...
Ho все равно СПАСИБО, приятно осознавать, что ты не один
Кстати, про вектора чего-то я запутался.

tedd · Сообщение **tedd** » 15 фев 2008, 22:09

ДОШЛО!!! в прямую, паралллельную AC врубился.... Спасибо большое!!!!
Над, чаю попить.
a AE/EC находится, если провести прямую параллельную чему??? ( Мне через 4 часа вставать, немного туплю ...)

yourdomain.com