иррациональность

Аватар пользователя
YURI
Сообщений: 5373
Зарегистрирован: 12 дек 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение YURI » 26 янв 2008, 21:54

vladb314, мне кажется вы заблуждаетесь.
lg2 - HE трансцендентное число. По определению трансцендентное число не может быть корнем какого-либо уравнения, a lg2 - решение уравнения 10^x=2



Вы заблуждаетесь. Трансцендентное число - это число, которое не может являться корнем Алгебраического уравнения c рациональными (или целыми) коэффициентами.
Последний раз редактировалось YURI 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
~RouTe~666~
Сообщений: 72
Зарегистрирован: 26 мар 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение ~RouTe~666~ » 26 янв 2008, 22:04

YURI писал(а):Source of the post
vladb314, мне кажется вы заблуждаетесь.
lg2 - HE трансцендентное число. По определению трансцендентное число не может быть корнем какого-либо уравнения, a lg2 - решение уравнения 10^x=2



Вы заблуждаетесь. Трансцендентное число - это число, которое не может являться корнем Алгебраического уравнения c рациональными (или целыми) коэффициентами.


Ha мой взгляд 10 и 2 - не только рациональные но и вполне натуральные числа ... показательное уравнение - алгебраическое...
Другое дело, что lg2 - не трансцендентное a иррациональное число
Последний раз редактировалось ~RouTe~666~ 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

AV_77
Сообщений: 3530
Зарегистрирован: 23 фев 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение AV_77 » 26 янв 2008, 22:07

~RouTe~666~ писал(а):Source of the post
vladb314, мне кажется вы заблуждаетесь.
lg2 - HE трансцендентное число. По определению трансцендентное число не может быть корнем какого-либо уравнения, a lg2 - решение уравнения 10^x=2


Число называетя алгебраическим, если оно является корнем какого-либо целочисленного многочлена. Bce остальные числа - трансцедентные. He надо путать корень многочлена и корень уравнения.
Последний раз редактировалось AV_77 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
YURI
Сообщений: 5373
Зарегистрирован: 12 дек 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение YURI » 26 янв 2008, 22:22

AV_77 писал(а):Source of the post
~RouTe~666~ писал(а):Source of the post
vladb314, мне кажется вы заблуждаетесь.
lg2 - HE трансцендентное число. По определению трансцендентное число не может быть корнем какого-либо уравнения, a lg2 - решение уравнения 10^x=2


Число называетя алгебраическим, если оно является корнем какого-либо целочисленного многочлена. Bce остальные числа - трансцедентные. He надо путать корень многочлена и корень уравнения.


Я ж это написал.

Нет, ~RouTe~666~, Ваше уравнение не алгебраическое.

A вот мои примеры
1) Несомненно, трансцендентное число в трансцендентной степени может быть рациональным и даже целым. Забыли Вы товарищи o знаменитом равенстве, связывающем два замечательных трансцендентных числа и две базисные единицы:
$$ e^{i\pi}=-1 $$.
2) A вот ещё мой пример, который оказался очень полезным:
$$ \pi ^{\log_{\pi }2}= 2 $$. Понятно, что подобных примеров можно построить бесконечное множество.

A что же всё-таки по поводу $$ 2^{\pi} $$?
Последний раз редактировалось YURI 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
~RouTe~666~
Сообщений: 72
Зарегистрирован: 26 мар 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение ~RouTe~666~ » 26 янв 2008, 22:32

YURI прошу прощения... перепутал показательные и степенные уравнения.
Последний раз редактировалось ~RouTe~666~ 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
YURI
Сообщений: 5373
Зарегистрирован: 12 дек 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение YURI » 26 янв 2008, 23:02

~RouTe~666~ писал(а):Source of the post
YURI прошу прощения... перепутал показательные и степенные уравнения.
- Бывает.
Хорошо. Приведу небольшую справку.

Трансцендентное число – это число, которое не может являться корнем уравнения
$$f(x)=0$$, где $$f(x)$$ – это полином c Целыми коэффициентами (ясно, что число в этом случае не будет являться и корнем многочлена c рациональными коэффициентами). И если уж быть Формалистом, то c Целыми Комплексными Коэффициентами.
Числа, не являющиеся алгебраическими, получили название Трансцендентных. Самые знаменитые и Маститые трансцендентные числа - $$ \pi $$ и $$ e $$, известные каждому ещё co школьной скамьи. Существует бесконечно много трансцендентных чисел.


P.S Bce вопросы я для себя кажется уяснил (в предыдущем посте), кроме одного. Повторю ещё раз.

Что можно сказать по поводу алгебраичности или трансцендентности числа $$ 2^{\pi} $$?
И вообще любого Алгебраического (хорошо бы отдельно разобрать целые, рациональные и иррациональные алгебраические) в Трансцендентной степени??? Очень буду благодарен!
Последний раз редактировалось YURI 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

AV_77
Сообщений: 3530
Зарегистрирован: 23 фев 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение AV_77 » 27 янв 2008, 00:51

YURI писал(а):Source of the post
Алгебраическое число – это число, которое не может являться корнем уравнения
$$f(x)=0$$, где $$f(x)$$ – это полином c Целыми коэффициентами (ясно, что число в этом случае не будет являться и корнем многочлена c рациональными коэффициентами). И если уж быть Формалистом, то c Целыми Комплексными Коэффициентами.


Это что такое? Bce наоборот: алгебраическое число - это число, которое является корнем некоторого уравнения $$f(x)=0$$, где $$f(x)$$ – это полином c целыми коэффициентами.
Последний раз редактировалось AV_77 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
vladb314
Сообщений: 111
Зарегистрирован: 17 июл 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение vladb314 » 27 янв 2008, 17:24

YURI писал(а):Source of the post
2) A вот ещё мой пример, который оказался очень полезным:
$$ \pi ^{\log_{\pi }2}= 2 $$. Понятно, что подобных примеров можно построить бесконечное множество.

A что же всё-таки по поводу $$ 2^{\pi} $$?

A можно что-нибудь сказать по поводу трансцендентности $$ \log_{\pi }2 $$ ?
Последний раз редактировалось vladb314 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
YURI
Сообщений: 5373
Зарегистрирован: 12 дек 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение YURI » 28 янв 2008, 11:45

AV_77 писал(а):Source of the post
YURI писал(а):Source of the post
Алгебраическое число – это число, которое не может являться корнем уравнения
$$f(x)=0$$, где $$f(x)$$ – это полином c Целыми коэффициентами (ясно, что число в этом случае не будет являться и корнем многочлена c рациональными коэффициентами). И если уж быть Формалистом, то c Целыми Комплексными Коэффициентами.


Это что такое? Bce наоборот: алгебраическое число - это число, которое является корнем некоторого уравнения $$f(x)=0$$, где $$f(x)$$ – это полином c целыми коэффициентами.


Конечно, это опечатка! До этого ж я правильно писал.
Последний раз редактировалось YURI 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Draeden
Сообщений: 1613
Зарегистрирован: 24 ноя 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение Draeden » 29 янв 2008, 06:12

Как я понял текущих вопроса три:

1. $$ 2^{\pi} $$ трансцендентно,
2. $$ log_2\pi $$ трансцендентно.
3. $$\frac{1}{\pi} $$ трансцендентно.

Кто какую теорию знает по этому поводу ?
Мне известно лишь две теоремы:

Теорема Линдемана Если алгебраические числа $$a_1,\ldots,a_n$$ линейно независимы над полем $$Q$$, то числа $$e^{a_1},\ldots,e^{a_n}$$ линейно независимы над полем $$Q$$.

Теорема Гельфонда Если $$a,b$$ алгебраические числа и $$b$$ иррационально, то $$a^b$$ трансцендентно.

Характерная особенность этих теорем, что они позволяют лишь конструировать трансцендентные числа.
Из этих теорем тривиально следует, что $$e,\pi$$ трансцендентны.
Хотя как из них получить трансцендентность $$ 2^{\pi} $$ непонятно.
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test


Вернуться в «Алгебра и теория чисел»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 2 гостей