иррациональность

Аватар пользователя
YURI
Сообщений: 5373
Зарегистрирован: 12 дек 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение YURI » 22 янв 2008, 20:49

Вопрос: может ли иррациональное число в иррациональной степени быть рациональным?
Первому решившему, само собой $$+$$.
Последний раз редактировалось YURI 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

AV_77
Сообщений: 3530
Зарегистрирован: 23 фев 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение AV_77 » 22 янв 2008, 22:06

YURI писал(а):Source of the post
Вопрос: может ли иррациональное число в иррациональной степени быть рациональным?
Первому решившему, само собой $$+$$.


Например $$ \left( 2^{\sqrt{2}} \right)^{\frac{1}{\sqrt{2}}} $$
Последний раз редактировалось AV_77 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
Pavlovsky
Сообщений: 1377
Зарегистрирован: 30 июл 2006, 21:00

иррациональность

Сообщение Pavlovsky » 23 янв 2008, 10:37

$$ 2^{\sqrt{2}}$$ не мешает доказать, что это иррациональное число.

A вот одно из двух, ниже приведенных чисел удовлетворяет условиям:
$$ \left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right)^{\sqrt{2}}=2   $$

$$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}  $$

Bce это изложено в великом журнале "Квант"
Последний раз редактировалось Pavlovsky 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
YURI
Сообщений: 5373
Зарегистрирован: 12 дек 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение YURI » 23 янв 2008, 16:29

AV_77 писал(а):Source of the post
YURI писал(а):Source of the post
Вопрос: может ли иррациональное число в иррациональной степени быть рациональным?
Первому решившему, само собой $$+$$.


Например $$ \left( 2^{\sqrt{2}} \right)^{\frac{1}{\sqrt{2}}} $$


Разумеется $$+1$$, AV_77!

Можно даже сказать, что $$2^{\sqrt{2}}$$ - трансцендентно.

Pavlovsky писал(а):Source of the post
$$ 2^{\sqrt{2}}$$ не мешает доказать, что это иррациональное число.

A вот одно из двух, ниже приведенных чисел удовлетворяет условиям:
$$ \left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right)^{\sqrt{2}}=2   $$

$$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}  $$

Bce это изложено в великом журнале "Квант"


Да и Вам, Pavlovsky!
Последний раз редактировалось YURI 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
Pavlovsky
Сообщений: 1377
Зарегистрирован: 30 июл 2006, 21:00

иррациональность

Сообщение Pavlovsky » 24 янв 2008, 09:28

Последний раз редактировалось Pavlovsky 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
YURI
Сообщений: 5373
Зарегистрирован: 12 дек 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение YURI » 24 янв 2008, 09:38

Спасибо! Да именно $$2^{\sqrt{2}}$$ - трансцендентно по теореме Гельфонда.

Быстро просмотрев ссылку не нашел: может ли трансцендентное в трансц. степени быть рациональным?
Последний раз редактировалось YURI 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
vladb314
Сообщений: 111
Зарегистрирован: 17 июл 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение vladb314 » 24 янв 2008, 10:50

YURI писал(а):Source of the post
Быстро просмотрев ссылку не нашел: может ли трансцендентное в трансц. степени быть рациональным?

A как насчёт $$\left( {2^\pi  } \right)^{\frac{1}{\pi }}  = 2$$?
Последний раз редактировалось vladb314 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Draeden
Сообщений: 1613
Зарегистрирован: 24 ноя 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение Draeden » 24 янв 2008, 10:53

Почему эти два числа трансцендентны ?
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
YURI
Сообщений: 5373
Зарегистрирован: 12 дек 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение YURI » 24 янв 2008, 18:44

Draeden писал(а):Source of the post
Почему эти два числа трансцендентны ?

********************************************************************
Седьмая проблема Гильберта формулируется следующим образом:

Пусть a --- положительное алгебраическое число, не равное 1, b --- иррациональное алгебраическое число. Доказать, что $$a^b$$
есть число трансцендентное.

B 1934 году советский математик Гельфонд и чуть позже немецкий математик Шнайдер доказали справедливость этого утверждения, и таким образом, эта проблема была решена.
********************************************************************
Действительно? Насчёт $$\frac {1} {\pi}$$ согласен. A что скажите про $$2^\pi$$?
Последний раз редактировалось YURI 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Draeden
Сообщений: 1613
Зарегистрирован: 24 ноя 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение Draeden » 24 янв 2008, 19:14

A чо это за перец такой, Гильберт ?
Подумаешь проблему сформулировал просто он не знал как решить и всего то
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test


Вернуться в «Алгебра и теория чисел»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 1 гость