Продолжим тему Возвращаясь к функции Dreadena из сообщения #53, замечу, что для её построения требуется разбиение множества действительных чисел на счётное число всюду плотных подмножеств (так как в правиле построения функции цикл повторяется счётное число раз). Доказать, что предельная функция будет существовать можно, доказательство несложное. Причём в правиле построения этой функции все эти плотные подмножетсва должны быть континуумами. Однако, на мой взгляд, можно обойтись и плотными счётными подножетсвами. Именно такое разбиение лежит в основе моего примера функции, график которой плотно заполняет всю координатную плоскость. Функция Dreadena сводится примерно к ней же.
Итак, пусть есть разбиение множества действительных чисел на счётное число всюду плотных подмножеств, одно из которых - континуум (множество иррациональных чисел), остальные - счётные (подмножества рациональных чисел). Тогда данная функция задаётся следующим правилом:
![$$f(x) = \left\{ 0,\quad x \in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q} \\ q_1 ,\quad x \in Q_1 \\ q_2 ,\quad x \in Q_2 \\ \vdots \\ q_n ,\quad x \in Q_n \\ \vdots \\ \right$$ $$f(x) = \left\{ 0,\quad x \in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q} \\ q_1 ,\quad x \in Q_1 \\ q_2 ,\quad x \in Q_2 \\ \vdots \\ q_n ,\quad x \in Q_n \\ \vdots \\ \right$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28x%29%20%3D%20%5Cleft%5C%7B%200%2C%5Cquad%20x%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5Cbackslash%20%5Cmathbb%7BQ%7D%20%5C%5C%20q_1%20%2C%5Cquad%20x%20%5Cin%20Q_1%20%5C%5C%20q_2%20%2C%5Cquad%20x%20%5Cin%20Q_2%20%5C%5C%20%5Cvdots%20%5C%5C%20q_n%20%2C%5Cquad%20x%20%5Cin%20Q_n%20%5C%5C%20%5Cvdots%20%5C%5C%20%20%5Cright%24%24)
где
![$$\{ q_1 ,q_2 ,...,q_n ,...\} = \mathbb{Q}\backslash \{ 0\} $$ $$\{ q_1 ,q_2 ,...,q_n ,...\} = \mathbb{Q}\backslash \{ 0\} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5C%7B%20q_1%20%2Cq_2%20%2C...%2Cq_n%20%2C...%5C%7D%20%20%3D%20%5Cmathbb%7BQ%7D%5Cbackslash%20%5C%7B%200%5C%7D%20%24%24)
;
![$$\mathbb{Q} = Q_1 \sqcup Q_2 \sqcup ... \sqcup Q_n \sqcup ...$$ $$\mathbb{Q} = Q_1 \sqcup Q_2 \sqcup ... \sqcup Q_n \sqcup ...$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cmathbb%7BQ%7D%20%3D%20Q_1%20%20%5Csqcup%20Q_2%20%20%5Csqcup%20...%20%5Csqcup%20Q_n%20%20%5Csqcup%20...%24%24)
- разбиение множества рациональных чисел на счётное число всюду плотных подмножеств.
Вопрос,
как построить ![$$Q_1 \sqcup Q_2 \sqcup ... \sqcup Q_n \sqcup ...$$ $$Q_1 \sqcup Q_2 \sqcup ... \sqcup Q_n \sqcup ...$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24Q_1%20%20%5Csqcup%20Q_2%20%20%5Csqcup%20...%20%5Csqcup%20Q_n%20%20%5Csqcup%20...%24%24)
остаётся открытым
Последний раз редактировалось
vladb314 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test