Разрывные функции

Аватар пользователя
vladb314
Сообщений: 111
Зарегистрирован: 17 июл 2007, 21:00

Разрывные функции

Сообщение vladb314 » 18 янв 2008, 21:08

Draeden писал(а):Source of the post
Конечно, то же метод: поделить все числа на рациональные и иррациональные, a рациональные разбить на $$ m $$ классов, причём несократимые дроби $$ \frac{p_1}{q_1} $$ и $$ \frac{p_2}{q_2} $$ относятся к одному классу, если

$$ q_1 \equiv q2 (mod(m)) $$

Что-то я не понял...
Дроби $$ \frac{1}{2} $$ и $$ \frac{1}{6} $$ войдут в один класс, так как $$ 2 \equiv 6 (mod(2)) $$.
Дроби $$ \frac{1}{3} $$ и $$ \frac{1}{6} $$ также войдут в один класс, так как $$ 3 \equiv 6 (mod(3)) $$.
Ho дроби $$ \frac{1}{2} $$ и $$ \frac{1}{3} $$ не войдут в один класс, так как $$ 2 \not\equiv 3 (mod(m)) $$ ни при одном m.
Следовательно данные классы не есть классы эквивалентности и не могут быть разбиением множества.
Последний раз редактировалось vladb314 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Draeden
Сообщений: 1613
Зарегистрирован: 24 ноя 2007, 21:00

Разрывные функции

Сообщение Draeden » 18 янв 2008, 21:49

Я имел ввиду следующее: допустим мы хотим разбить рациональные числа на пять классов, тогда к первому классу будут принадлежать дроби co знаменателями $$ 5n $$, ко второй - co знаменателями $$ 5n+1 $$ и т.д. Такое отношение будет отношением эквивалении.
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
vladb314
Сообщений: 111
Зарегистрирован: 17 июл 2007, 21:00

Разрывные функции

Сообщение vladb314 » 18 янв 2008, 22:10

Да. Теперь у нас есть разбиение множества действительных чисел на любое наперёд заданное конечное число всюду плотных подмножетсв. K сожалению, данный способ не распространяется на бесконечность.
A можно ли разбить разбить множество действительных чисел на счётное число плотных подмножетсв?
Последний раз редактировалось vladb314 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
vladb314
Сообщений: 111
Зарегистрирован: 17 июл 2007, 21:00

Разрывные функции

Сообщение vladb314 » 21 янв 2008, 20:12

Продолжим тему Возвращаясь к функции Dreadena из сообщения #53, замечу, что для её построения требуется разбиение множества действительных чисел на счётное число всюду плотных подмножеств (так как в правиле построения функции цикл повторяется счётное число раз). Доказать, что предельная функция будет существовать можно, доказательство несложное. Причём в правиле построения этой функции все эти плотные подмножетсва должны быть континуумами. Однако, на мой взгляд, можно обойтись и плотными счётными подножетсвами. Именно такое разбиение лежит в основе моего примера функции, график которой плотно заполняет всю координатную плоскость. Функция Dreadena сводится примерно к ней же.

Итак, пусть есть разбиение множества действительных чисел на счётное число всюду плотных подмножеств, одно из которых - континуум (множество иррациональных чисел), остальные - счётные (подмножества рациональных чисел). Тогда данная функция задаётся следующим правилом:
$$f(x) = \left\{ 0,\quad x \in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q} \\ q_1 ,\quad x \in Q_1 \\ q_2 ,\quad x \in Q_2 \\ \vdots \\ q_n ,\quad x \in Q_n \\ \vdots \\  \right$$
где
$$\{ q_1 ,q_2 ,...,q_n ,...\}  = \mathbb{Q}\backslash \{ 0\} $$;
$$\mathbb{Q} = Q_1  \sqcup Q_2  \sqcup ... \sqcup Q_n  \sqcup ...$$ - разбиение множества рациональных чисел на счётное число всюду плотных подмножеств.

Вопрос, как построить $$Q_1  \sqcup Q_2  \sqcup ... \sqcup Q_n  \sqcup ...$$ остаётся открытым
Последний раз редактировалось vladb314 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Draeden
Сообщений: 1613
Зарегистрирован: 24 ноя 2007, 21:00

Разрывные функции

Сообщение Draeden » 21 янв 2008, 20:34

Это точно
Я, кстати, не Dreaden a Draeden , ибо второе слово смысла не имеет, a первое имеет (я для этого буквы переставлял, a вы их вернули на место
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
Hottabych
Сообщений: 1807
Зарегистрирован: 25 ноя 2007, 21:00

Разрывные функции

Сообщение Hottabych » 21 янв 2008, 20:49

vladb314 писал(а):Source of the post
Да. Теперь у нас есть разбиение множества действительных чисел на любое наперёд заданное конечное число всюду плотных подмножетсв. K сожалению, данный способ не распространяется на бесконечность.
A можно ли разбить разбить множество действительных чисел на счётное число плотных подмножетсв?


Возьмите Q, Q+sqrt(2), Q+2*sqrt(2),... Q+n*sqrt(2),....
Последний раз редактировалось Hottabych 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Draeden
Сообщений: 1613
Зарегистрирован: 24 ноя 2007, 21:00

Разрывные функции

Сообщение Draeden » 21 янв 2008, 21:21

Respect Hottabych ! +1
Действительно, возьмём функцию:

$$ f_r(x,y)=x+y\sqrt{r} \\ x,y,r \in Q \setminus \{0\} $$

если брать $$ r $$ из которых не извлекаются целые корни, то

$$ im f_{r_1} $$ и $$ im f_{r_2} $$ не пересекаются.

Поэтому построим счётное множество чисел из которых не извлекаюся целочисленные квадратные корни: $$ \{ r_1, r_2, ... \} $$ и соответсвующие функции $$ \{ f_{r_1}, f_{r_2},... \} $$ строящие счётные непересекающиеся множества. Объединение всех этих множеств даст $$ Q' $$ - некоторое подмножество действительных чисел $$ R $$. Ho часть чисел остаётся, в частности трансцендентные числа. Трансцендентные числа образуют континуум ( я прав ? ), значит $$ Q \setminus Q' $$ - континуум.

Разбиение построено.
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
vladb314
Сообщений: 111
Зарегистрирован: 17 июл 2007, 21:00

Разрывные функции

Сообщение vladb314 » 24 янв 2008, 12:29

Очень хорошо! Общими усилиями построена функция, график которой заполняет всю коорнитатную плосткость. Однако для этой функции существуют точки координатной плоскости, в окрестности которых имеется лишь счётное число точек графика функции.

Кто сможет придумать функцию, график которой настолько плотно заполняет координатную плоскость, что в любой окрестности любой точки координатной плоскости будет иметься континуум точек графика функции?
Последний раз редактировалось vladb314 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Draeden
Сообщений: 1613
Зарегистрирован: 24 ноя 2007, 21:00

Разрывные функции

Сообщение Draeden » 24 янв 2008, 12:57

Ну ты зверь! Я только передохнуть решил
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Draeden
Сообщений: 1613
Зарегистрирован: 24 ноя 2007, 21:00

Разрывные функции

Сообщение Draeden » 26 янв 2008, 13:27

vladb314, я, неожиданно для себя, заметил, что мы отклонились от темы
Ведь мы обсуждаем доказательство того, что нельзя построить некоторые специфичные
функции описанные в #35. Я до сих пор его не понял
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test


Вернуться в «Математический анализ»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 4 гостей