Предел в точке.

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 06 янв 2008, 21:26

Draeden писал(а):Source of the post
$(a_k)^{a_k} \sim -(2k-1)^{\frac{1}{2k-1}} \sim -1$

или я где-то ошибся ?

Да, вы ошиблись.
У вас получилось так:
${\lim }\limits_k \left( { - \frac{1}{{2k - 1}}} \right)^{ - \frac{1}{{2k - 1}}} = - {\lim }\limits_k \left( {\frac{1}{{2k - 1}}} \right)^{ - \frac{1}{{2k - 1}}} = - {\lim }\limits_k \left( {2k - 1} \right) ^ {\frac{1}{{2k - 1}}} = - 1$
A на самом деле так:
${\lim }\limits_k \left( { - \frac{1}{{2k - 1}}} \right)^{ - \frac{1}{{2k - 1}}} = {\lim }\limits_k \left( {( - 1)^{ - \frac{1}{{2k - 1}}} \left( {\frac{1}{{2k - 1}}} \right)^{ - \frac{1}{{2k - 1}}} } \right) = {\lim }\limits_k ( - 1)^{\frac{1}{{2k - 1}}} \left( {2k - 1} \right)^{\frac{1}{{2k - 1}}} = {\lim }\limits_k e^{i\pi \cdot \frac{1}{{2k - 1}}} \cdot 1 = 1$

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 08 янв 2008, 21:45

Предлагаю рассмотреть еще один предел.

Доказать существование и найти следующий предел:
${\lim }\limits_{x \to 0 \\ y \to 0 } \frac{{x^2 y}}{{x^2 + y^2 }}$

Draeden · Сообщение **Draeden** » 08 янв 2008, 21:53

Я не знаю теории таких пределов, но предложу решение

$x=r\cos\varphi\\y=r\sin\varphi\\ f(r,\varphi)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}=r\cos^2\varphi\sin\varphi$

поскольку эта функция сходится равномерно то предел существует, и, по видимому, равен нулю.

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 08 янв 2008, 22:01

Draeden писал(а):Source of the post
поскольку эта функция сходится равномерно то предел существует, и, по видимому, равен нулю.

Что значит, функция сходится равномерно?

Draeden · Сообщение **Draeden** » 08 янв 2008, 22:19

Говорят, что функция $$ f(x,a) $$

сходится равномерно к $$ f_0(a) $$

при $x \to x_0$ на множестве $a \in A$ если

$\forall \varepsilon \exists \delta \forall x (0<|x-x_0|<\delta) \forall a\in A (|f(x,a)-f_0(a)|<\varepsilon)$

это более жёсткое условие чем поточечная сходимость, которая означает, что

$\lim_{x\to x_0}f(x,a)=f_0(a)$

разница примерно та же, что между непрерывностью и равномерной непрерывностью.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 09 янв 2008, 20:02

vladb314 писал(а):Source of the post
Предлагаю рассмотреть еще один предел.

Доказать существование и найти следующий предел:
${\lim }\limits_{x \to 0 \\ y \to 0 } \frac{{x^2 y}}{{x^2 + y^2 }}$

Предлагаю такое решение
$|\frac{{x^2 y}}{{x^2 + y^2 }}|=|\frac{{x}}{{\frac{x}{y} + \frac{y}{x} }}|\le 0.5|x|$
a так как $$0.5|x|$$

сходиться то и искомый предел сходиться. Найти его не составляет труда - достаточно взять любой повторный предел

yourdomain.com