Сколько энергии излучается при замыкании батарейки?

timn · Сообщение **timn** » 13 окт 2007, 19:04

Если замкнуть куском провода простую батарейку, то в приемнике рядом слышен треск -
это факт известный.
A сколько энергии (в виде электромагнитных волн) при этом излучается ?

Первое, что приходит в голову - взять формулу для магнитного дипольного излучения
из электродинамики. Ho как в ней оценить вторую производную от магнитного момента
системы?

Заранее спасибо ))

pchela9091 · Сообщение **pchela9091** » 14 окт 2007, 21:25

Расчет будет оценочным.
Будем считать кусок провода прямолинейным.
Если рассчитать его индуктивность $$L$$

, то получим достаточно малую
величину. Поэтому переходный процесс в этой цепи затухает очень быстро
(время релаксации $\tau$ очень мало). Из-за малости $\tau$
в разложении функции тока в ряд Фурье будет присутствовать гармоника c большой
частотой (порядка радиочастоты). Поэтому и слышен треск при замыкании цепи.

Теперь сам расчет.
Воспользуемся формулой для мощности излучения за время $\tau$
от одного электрона, бегущего по данной цепи
(см. Фейнмановские лекции по физике, т. 3, стр. 104):
$P_e=\frac{q_e^2<a^2>}{6\pi\epsilon_0c^3}$ ,
где $$q_e$$

- заряд электрона, $\epsilon_0$ - электрическая постоянная,
$$c$$

- скорость света в вакууме,
$$<a^2>$$

- средний квадрат ускорения электрона за время $\tau$ .
$<a^2>=\frac{1}{\tau}\int_0^\tau{a^2(t)dt}$ ,
$a(t)=\frac{i'(t)}{en_eS}$ ,
где $$i'(t)$$

- производная функции $$i(t)$$

тока,

- концентрация электронов,
$$S$$

- площадь поперечного сечения проводника.
Оценка для $$n_e$$

:
$n_e=\frac{Z}{a^3}$ ,
где $$Z$$

- валентность атома проводника,
$$a$$

- параметр решетки (в литературе этот параметр оценивается как $3\cdot10^{-10}$ м).
Излучение от проводника оценим как
$$P=N_eP_e$$

,
где

- число электронов в проводнике.
Заметим, что $\frac{N_e}{n_e}=V$ ,
где $$V$$

- объем проводника.
Выражение для функции тока известно как выражение для тока при замыкании цепи:
$i(t)=\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{t}{\tau}})$ ,
где $$E$$

- ЭДС источника, $$R$$

- полное сопротивление цепи,
$\tau=\frac{L}{R}$ .

timn · Сообщение **timn** » 14 окт 2007, 21:34

Прошу прощения, что цепляюсь к мелочам, HO
1). я встречал другую формулу для индуктивности витка: $L = \mu_0\cdot R\cdot(ln \frac{8R}{r} - 7/4)\approx \mu_0\cdot R\cdot(ln\left( \frac{R}{r} \right))$ , где r - радиус ПРОВОДА (в Вашей формуле его нет). Ведь нельзя же (наверно) считать провод абсолютно тонким :no:
2). A как насчет интерференции волн от множества электронов, пробегающих по проводу?

fynt · Сообщение **fynt** » 14 окт 2007, 21:47

timn писал(а):Source of the post
1). я встречал другую формулу для индуктивности витка: $L = \mu_0\cdot R\cdot(ln \frac{8R}{r} - 7/4)\approx<br /> \mu_0\cdot R\cdot(ln\left( \frac{R}{r} \right))$ , где r - радиус ПРОВОДА (в Вашей формуле его нет). Ведь нельзя же (наверно) считать провод абсолютно тонким :no:

Индуктивность соленойда (в данном случае это один виток) не зависит от диаметра провода, a зависит только от геометрических параметров катушки. :no:

$L = \mu_0N^2 \frac {S} {L}$

Где L и S соответственно длина соленойда и площадь.

pchela9091 · Сообщение **pchela9091** » 14 окт 2007, 21:48

Излучение от каждого электрончика одинаково.
B расчете мощность $$P_e$$

берется по всем направлениям.
Замечу, что излучение от электрона HE ЕСТЬ гармоника, хотя ему можно сопоставить ряд гармоник
(помните ряд Фурье), т.e. излучению от электрона можно сопоставить излучение от ряда
гармонических осцилляторов.

timn · Сообщение **timn** » 14 окт 2007, 21:54

pchela9091 писал(а):Source of the post
A по поводу второго скажу вот что.
Излучение от каждого электрончика одинаково. B моем расчете расчитывается мощность по всем направлениям.
Замечу, что излучение от электрона HE ЕСТЬ гармоника, хотя ему можно сопоставить ряд гармоник
(помните ряд Фурье), т.e. излучению от электрона можно сопоставить излучение от ряда
гармонических осцилляторов.

Простите, но разве можно говорить, что электроны в металле - это просто ускоренно движущиеся заряженые частицы? (разве там не квантовая задача в периодическом поле.... )

fynt писал(а):Source of the post
Индуктивность соленойда (в данном случае это один виток) не зависит от диаметра провода, a зависит только от геометрических параметров катушки. :no:

$L = \mu_0N^2 \frac {S} {L}$

Где L и S соответственно длина соленойда и площадь.

a что такое тогда для одного витка L (

длина соленойда

) ?

fynt · Сообщение **fynt** » 14 окт 2007, 21:59

ага :yes:

B данном случае да.

pchela9091 · Сообщение **pchela9091** » 14 окт 2007, 22:44

Об ускоренном движении заряженных частиц здесь говорить безусловно можно и нужно,
так как если есть ускорение заряженных частиц, то есть и электромагнитное излучение.
Об осцилляторе я написал к тому, что обычно в физике анализируют гармонические сигналы (к ним применимо понятие
интерференции). У нас здесь сложный сигнал, a его можно моделировать как сумму гармоник, причем каждой
гармонике соответствует свой излучатель - гармонический осциллятор (кстати, осцилляторы рассматриваются как
и в квантовой теории, так и в классической). B пространстве сигнал претерпевает изменения, отражаясь от стен и
др. предметов, проходя через вещество и накладываясь на другие сигналы.
Может быть интерференция в какой-нибудь точке пространства и есть (хотя мало вероятно), но нужно говорить об интерференции
сигналов от гармонических осцилляторов.

timn · Сообщение **timn** » 14 окт 2007, 23:44

pchela9091 писал(а):Source of the post
Об ускоренном движении заряженных частиц здесь говорить безусловно можно и нужно,
так как если есть ускорение заряженных частиц, то есть и электромагнитное излучение.

Позвольте пояснить мои сомнения:
Преведенная Вами формула
$P_e=\frac{e^2<a^2>}{6\pi\epsilon_0c^3}$ - это (на мой взгляд) не что иное,
как формула из электродинамики $P_e=\frac{(\ddot{\vec{p}})^2}{6\pi\epsilon_0c^3}$ ,
дающая сумарную (во все стороны) мощность излучения от системы зарядов
c дипольным моментом $\vec{p}$ .
Так вот мне и не понятно - есть ли у рассматриваемой системмы (батарейка + провод) отличный от нуля дипольный момент? :blink:

Еще, кстати, интересный вопрос - нужно ли учитывать емкость батарейки (по оценкам она порядка 2 пФ) ?

timn · Сообщение **timn** » 15 окт 2007, 00:05

B продолжение темы: как оценить энергию, уносимую фотонами при искре в момент замыкания ?
Может она и мала, но все равно интересно )

yourdomain.com