Soul писал(а):Source of the post Физика:
№4 Пространство между стенками колбы термоса откачано до давления
![$$p=10^{-2}$$ $$p=10^{-2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24p%3D10%5E%7B-2%7D%24%24)
Па при комнатной температуре . Оценить время, в течение которого чай в термосе остынет c
![$$90^0$$ $$90^0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%2490%5E0%24%24)
до
![$$70^0C$$ $$70^0C$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%2470%5E0C%24%24)
. Площадь поверхности колбы
![$$S=600 (cm^2)$$ $$S=600 (cm^2)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24S%3D600%20%28cm%5E2%29%24%24)
. Ёмкость термоса 1 л. Удельная теплоёмкость воды
![$$c=4,2*10^3$$ $$c=4,2*10^3$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24c%3D4%2C2%2A10%5E3%24%24)
Дж/(кг*K); универсальная газовая постоянная
![$$R=8,3$$ $$R=8,3$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24R%3D8%2C3%24%24)
Дж/(моль*K). Утечку тепла через пробку не учитывать.
Обазначим через
![$$T_1$$ $$T_1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24T_1%24%24)
температуру чая и через
![$$T_2$$ $$T_2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24T_2%24%24)
температуру в комнате. Сталкиваясь c тёплой стенкой, молекулы воздуха в колбе приобретают кинетическую энергию (Конечно, следовало бы учитывать все степени свободы молекулы, но для оценки это не существенно)
![$$E_1=\frac {3} {2}kT_1$$ $$E_1=\frac {3} {2}kT_1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24E_1%3D%5Cfrac%20%7B3%7D%20%7B2%7DkT_1%24%24)
После столкновения c холодной стенкой кинетическая энергия молекул становится равной
![$$E_2=\frac {3} {2}kT_2$$ $$E_2=\frac {3} {2}kT_2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24E_2%3D%5Cfrac%20%7B3%7D%20%7B2%7DkT_2%24%24)
Таким образом, молекулой переносится энергия
![$$\Delta E=E_1-E_2=\frac {3} {2}k(T_1-T_2)$$ $$\Delta E=E_1-E_2=\frac {3} {2}k(T_1-T_2)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5CDelta%20E%3DE_1-E_2%3D%5Cfrac%20%7B3%7D%20%7B2%7Dk%28T_1-T_2%29%24%24)
Число столкновений молекул co стенками площадью
![$$S$$ $$S$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24S%24%24)
за время
![$$\Delta t$$ $$\Delta t$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5CDelta%20t%24%24)
равно
(1)
![$$Z=\frac {1} {2}n|v_x|S\Delta t$$ $$Z=\frac {1} {2}n|v_x|S\Delta t$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24Z%3D%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7B2%7Dn%7Cv_x%7CS%5CDelta%20t%24%24)
где
![$$n$$ $$n$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24n%24%24)
- концентрация молекул и
![$$v_x$$ $$v_x$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24v_x%24%24)
- среднее значение модуля проекции скорости молекулы на ось иксов, перпендикулярную стенке. Для оценки можно принять, что
![$$3|v_x|^2=v^2$$ $$3|v_x|^2=v^2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%243%7Cv_x%7C%5E2%3Dv%5E2%24%24)
или
![$$|v_x|=\frac {1} {\sqrt{3}}v$$ $$|v_x|=\frac {1} {\sqrt{3}}v$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%7Cv_x%7C%3D%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7B%5Csqrt%7B3%7D%7Dv%24%24)
Среднеквадратичная скорость
![$$v$$ $$v$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24v%24%24)
определяется формулой
![$$v=\sqrt{\frac {3RT} {M}}$$ $$v=\sqrt{\frac {3RT} {M}}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24v%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%20%7B3RT%7D%20%7BM%7D%7D%24%24)
где
![$$M$$ $$M$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24M%24%24)
- молярная масса газа и
![$$T$$ $$T$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24T%24%24)
- средняя температура в колбе.
Так как значения
![$$T_1$$ $$T_1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24T_1%24%24)
и
![$$T_2$$ $$T_2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24T_2%24%24)
близки
![$$(T_1=363K;T_2=300K)$$ $$(T_1=363K;T_2=300K)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28T_1%3D363K%3BT_2%3D300K%29%24%24)
, то можно принять:
![$$T=\frac {1} {2}(T_1+T_2)$$ $$T=\frac {1} {2}(T_1+T_2)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24T%3D%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7B2%7D%28T_1%2BT_2%29%24%24)
Из основного уравнения кинетической теории газов
![$$p=nkT$$ $$p=nkT$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24p%3DnkT%24%24)
выражаем концентрацию молекул:
![$$n=\frac {p} {kT}$$ $$n=\frac {p} {kT}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24n%3D%5Cfrac%20%7Bp%7D%20%7BkT%7D%24%24)
Теперь можно формулу (1) переписать в следующем виде:
![$$Z=\frac {1} {2}\frac {p} {kT}\sqrt{\frac {kT} {M}}S*\Delta t$$ $$Z=\frac {1} {2}\frac {p} {kT}\sqrt{\frac {kT} {M}}S*\Delta t$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24Z%3D%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7B2%7D%5Cfrac%20%7Bp%7D%20%7BkT%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%20%7BkT%7D%20%7BM%7D%7DS%2A%5CDelta%20t%24%24)
Это означает, что за время
![$$\Delta t$$ $$\Delta t$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5CDelta%20t%24%24)
переносится энергия
(2)
![$$W=Z*\Delta E=\frac {3} {2}p\frac {T_1-T_2} {T_1+T_2}*\sqrt{\frac {R(T_1+T_2)} {2M}}S*\Delta t$$ $$W=Z*\Delta E=\frac {3} {2}p\frac {T_1-T_2} {T_1+T_2}*\sqrt{\frac {R(T_1+T_2)} {2M}}S*\Delta t$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24W%3DZ%2A%5CDelta%20E%3D%5Cfrac%20%7B3%7D%20%7B2%7Dp%5Cfrac%20%7BT_1-T_2%7D%20%7BT_1%2BT_2%7D%2A%5Csqrt%7B%5Cfrac%20%7BR%28T_1%2BT_2%29%7D%20%7B2M%7D%7DS%2A%5CDelta%20t%24%24)
Для того чтобы 1 кг чая в термосе остыл от температуры
![$$T_1=363 K$$ $$T_1=363 K$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24T_1%3D363%20K%24%24)
до температуры
![$$T_1^`=243 K$$ $$T_1^`=243 K$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24T_1%5E%60%3D243%20K%24%24)
, должна быть перенесена энергия
![$$W=mc(T_1-T_1^`)$$ $$W=mc(T_1-T_1^`)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24W%3Dmc%28T_1-T_1%5E%60%29%24%24)
Посдставляя это выражение для
![$$W$$ $$W$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24W%24%24)
в формулу (2), найдём необходимое для отстывания чая время
![$$\Delta t$$ $$\Delta t$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5CDelta%20t%24%24)
![$$\Delta t=\frac {2mc(T_1-T_1^`)(T_1+T_2)} {3p(T_1-T_2)S}*\sqrt{\frac {2M} {R(T_1+T_2)}}\approx 1,7*10^4\approx 5$$ $$\Delta t=\frac {2mc(T_1-T_1^`)(T_1+T_2)} {3p(T_1-T_2)S}*\sqrt{\frac {2M} {R(T_1+T_2)}}\approx 1,7*10^4\approx 5$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5CDelta%20t%3D%5Cfrac%20%7B2mc%28T_1-T_1%5E%60%29%28T_1%2BT_2%29%7D%20%7B3p%28T_1-T_2%29S%7D%2A%5Csqrt%7B%5Cfrac%20%7B2M%7D%20%7BR%28T_1%2BT_2%29%7D%7D%5Capprox%201%2C7%2A10%5E4%5Capprox%205%24%24)
ч.