Интересная задача

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 12 авг 2007, 22:35

Ha доске написаны натуральные числа $a_1, a_2, \ldots, a_n$ . Петя записывает на листок произведение некоторых $$ n-1 $$

из этих чисел, a оставшееся число уменьшает на 1. C новыми числами он проделывает ту же операцию, и так действует до тех пор, пока хотя бы одно из чисел не окажется равно нулю. Найдите сумму чисел, написанных на листке.

alexpro · Сообщение **alexpro** » 13 авг 2007, 23:03

A можно яснее выразиться?

Сначала на доске записаны n натуральных чисел. Затем Петя записывает себе на листок два числа: одно из них произведение n-1 натуральных чисел, a второе равно незадействованному числу, уменьшенному на единицу. Что делается дальше?

C новыми числами он проделывает ту же операцию, и так действует до тех пор, пока хотя бы одно из чисел не окажется равно нулю.

Ho ведь новых только два числа. И ведь есть числа уже и не только на доске, но и на листике.

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 13 авг 2007, 23:17

alexpro писал(а):Source of the post
A можно яснее выразиться?

Сначала на доске записаны n натуральных чисел. Затем Петя записывает себе на листок два числа: одно из них произведение n-1 натуральных чисел, a второе равно незадействованному числу, уменьшенному на единицу. Что делается дальше?
C новыми числами он проделывает ту же операцию, и так действует до тех пор, пока хотя бы одно из чисел не окажется равно нулю.
Ho ведь новых только два числа. И ведь есть числа уже и не только на доске, но и на листике.

Ha доске записаны n натуральных чисел. Петя записывает на листок произведение n-1 из этих чисел, a оставшееся число уменьшает на 1 и записывает его на доску (на место предыдущего). Ha пример, на доске записаны числа
$a_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_{n-1},\ a_n$ .
Ha листок Петя записывает $a_1 a_2 \ldots a_{n-1}$ , a на доске пишет новые числа
$a_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_{n-1},\ (a_n -1).$
C этими новыми числами (на доске) он и проделывает ту же операцию.

PS Вообще говоря, формулировка задачи практически полностью взята из журнала "Квант". Единственное отличие - там фиксированное число исходных чисел.

alexpro · Сообщение **alexpro** » 14 авг 2007, 13:42

O, спасибо, теперь стало ясно. Сначала я не в ту стороно начал думать.

Ho что-то она уж больно легкая. Достаточно найти инвариант, который не меняется при такой операции и решение становиться очевидным. Я пока не даю решения. Мот еще кто-то соблазниться.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 14 авг 2007, 14:58

Действительно, несложная задача. Какие бы мы не выбирали числа всегда будет выполняться равенство
$a_1^{(k)}a_2^{(k)}...a_n^{(k)}=P_k + a_1^{(k+1)}a_2^{(k+1)}...a_n^{(k+1)}$
Где $P_{k}$ произведение отобранных чисел.
Тогда $$a_0...a_n=P_0+..+P_k$$

, a поскольку последнее произведение будет равно 0, искомая сумма будет равна $$a_0a_1...a_n$$

alexpro · Сообщение **alexpro** » 14 авг 2007, 18:29

Affirmative!

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 14 авг 2007, 20:37

Обоим +1.

yourdomain.com