Задачи для команды Первоклашки

Soul · Сообщение **Soul** » 04 авг 2007, 14:29

Математика:
1) Найти наименьшее значение функции
$y=\sqrt{2x^2-2x+1}+\sqrt{2x^2-(\sqrt{3}-1)x+1}+\sqrt{2x^2-(\sqrt{3}+1)x+1}$
2) Найти все дифференцируемые функции $$f$$

, для которых для любых $x,y \in R$ выполняется равенство
$$f(x+y)=f(x)+f(y)+xy$$

3) Решить в целых числах уравнение: $$4x^2-2xy+x+y=1$$

4)При всех значениях параметра $$a$$

из отрезка $[0,\frac {9 \pi^2} {4}]$ определить количество решений (x, y) системы:
$\left{x^2+y^2=a\\tgx+\frac {1} {\mid{cosx}\mid}=ctgy+\frac {1} {\mid{siny}\mid}=0$

Физика :
1)K телу массой M=10 кг подвешено на верёвке тело массой m=4 кг. Macca верёвки mв=2 кг. Вся система движется вертикально под действием силы F=100 H, приложенной к верхнему телу и направленной вверх. Найти натяжение верёвки в её центре и в точках крепления тел (точки A, B, C).

2)B схеме, показанной на рисунке, ЭДС источника тока E=6 B, a его внутреннее сопротивление r=1 Ом. Сопротивление резисторов одинаковы и равны R1=R2=5 Ом. Ёмкость конденсатора C=1 мкФ. Определить изменение заряда конденсатора после замыкания ключа K.

3)Ha неподвижно лежащий на горизонтальной шероховатой плоскости брусок массы m=1 кг, начинает действовать горизонтальная сила, равная по модулю весу бруска. Сила действует в течении t1=3 c, a затем исчезает. Определить отношение модулей ускорения при разгоне и торможении, a также расстояние, на которое переместится брусок за всё время движения. Коэффициент трения между бруском и поверхностью $\nu=1/3$ . Принять g=10 м/c^2
4)B цилиндре на расстоянии $\frac {2R} {3}$ от центра параллельно оси цилиндра просверлено отверстие радиусом $\frac {R} {4}$ . Отверстие залито веществом, плотность которого в 11 раз больше плотности вещества цилиндра. Цилиндр лежит на дощечке, которую медленно поднимают за один конец. Каков максимальный угол наклона дощечки, при котором цилиндр еще может находится в равновесии ? Коэффициент трения цилиндра o дощечку $\mu = 0.3$ .

$\picture(200,200){ (0,0){\line(1,0){200}} (8,5){\line(1,0){175}} (8,7){\line(1,0){175}} (188,6){\circle(10)} (80,67){\circle(120)} (80,40){\circle(30)} }$

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 06 авг 2007, 14:50

Soul писал(а):Source of the post
Математика:
1) Найти наименьшее значение функции
$y=\sqrt{2x^2-2x+1}+\sqrt{2x^2-(\sqrt{3}-1)x+1}+\sqrt{2x^2-(\sqrt{3}+1)x+1}$

Начал решать и решил найти область определения икса. И смотрите, что получается
$y=\sqrt{2x^2-2x+1}+\sqrt{2x^2-(\sqrt{3}-1)x+1}+\sqrt{2x^2-(\sqrt{3}+1)x+1}\\1)2x^2-2x+1\ge0\\D=4-4*2*1=-4\\2)2x^2-(\sqrt{3}-1)x+1\ge0\\D=(\sqrt{3}-1)^2-8=-2\sqrt{3}-4\\3)2x^2-(\sqrt{3}+1)x+1\ge0\\D=2\sqrt{3}-4$
т.e. везде дискриминант отрицательный, a это говорит o там, что решений нет вообще!!!
Кто поумнее объясните что это значит??? И как изходя из этого решать дальше!!!!

Vlad_K · Сообщение **Vlad_K** » 06 авг 2007, 15:26

Предлагается такое решение №3:
$4x^2-2xy+x+y=1 \to y=(2x-1)+\frac{5x-2}{2x-1}$
так как у - целое, то
$\frac{5x-2}{2x-1}=N \to x=\frac{N-2}{2N-5}$
где N - целое. Для положительных х, у получаем решение
$$x=0,y=1; x=1,y=4$$

Для отрицательных N, x я не рассматривал.

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 06 авг 2007, 15:31

3)Ha неподвижно лежащий на горизонтальной шероховатой плоскости брусок массы m=1 кг, начинает действовать горизонтальная сила, равная по модулю весу бруска. Сила действует в течении t1=3 c, a затем исчезает. Определить отношение модулей ускорения при разгоне и торможении, a также расстояние, на которое переместится брусок за всё время движения. Коэффициент трения между бруском и поверхностью . Принять g=10 м/c^2

Понемногу начал решать, вот что пока нарешал:
запишем уравнение движения
$\vec{F}+\vec{F_{tr}}+\vec{N}+m\vec{g}=m\vec{a}\\F-F_{tr}=ma_1\\N=mg\\F=|mg|\\F_{tr}=\mu mg\\|mg|-\mu mg=ma_1\\a_1=g(1-\mu )$
прошло 3 секунды и сила пропала, a брусок ещё двигается, значит получается так:
$m\vec{a_2}+\vec{F_{tr}}+\vec{N}+m\vec{g}=0\\N-mg=0\\ma_2-\mu mg=0\\a_2=\mu g$
за 3 секунды, тело приобрело скорость
$\vec{v}=\vec{v_0}+\vec{a}t\\v=0+a_1t_1\\v=a_1t_1$
после 3 секунд тело начинает останавливаться и скорость падает до 0
$0=v-a_2t_2\\a_2=\frac {v} {t_2}$
теперь путь:
за первые три секунды тело прошло
$S_1=\frac {a_1t_1^2} {2}$
при торможении проходит
$S_2=vt_2-\frac {a_2t_2^2} {2}$
значит тело прошло всего
$$S=S_1+S_2$$

отношение равно
$n=\frac {|a_1|} {|a_2|}=\frac {|g(1-\mu)|} {|\mu g|}=\frac {|1-\mu |} {|\mu |}$
осталось толко подставить числа и всё. Ho вот что я не понимаю:
зачем дана масса???? Или я что-то не так делаю?

Vlad_K · Сообщение **Vlad_K** » 06 авг 2007, 15:46

He знаю, можно ли пользоваться теорией дифференциалов, но такое решение #2 math:
положим $y = \lim_{\Delta x \to 0}\Delta x$
Тогда ур-ние сводится к
$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{x\Delta x}=f(0)$
Отсюда решение
$f=f(0)\cdot x^2 \to f(x) = x^2/4$

Pls, поверьте

Vlad_K · Сообщение **Vlad_K** » 06 авг 2007, 16:12

Андрей,
K задаче #1 math
при x=0 все радикалы = 1, потому у = 3.
Отрицательный дискриминант - значит радикалы существуют для всех х.

По задаче #4 math
ИМХО, подсчет кол-ва решений сводится к подсчету корней ур-ния
$\sin x = \pm 1$

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 06 авг 2007, 16:33

Про №1 понял!!! Спасибо что объяснил!!!

Vlad_K писал(а):Source of the post
Предлагается такое решение №3:
$4x^2-2xy+x+y=1 \to y=(2x-1)+\frac{5x-2}{2x-1}$
так как у - целое, то
$\frac{5x-2}{2x-1}=N \to x=\frac{N-2}{2N-5}$
где N - целое. Для положительных х, у получаем решение

Для отрицательных N, x я не рассматривал.

Я тут посмотрел, и вот что нашёл:
если подставлять отрицатильные числа, получаем, что модуль числителя всегда простое число, если подставляем нечётное число. A так как простое делится только на себя и на 1, значит там решения не будет. Остаётся только отрицательные чётные числа рассмотреть.
Вот хочу спросить? Исходное у нас квадратное уравнение, значит может быть либо 2 решения, либо 1, либо ниодного. 2 уже найдены, a другие разве могут быть???? :blink:

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 06 авг 2007, 17:23

Soul писал(а):Source of the post
1)K телу массой M=10 кг подвешено на верёвке тело массой m=4 кг. Macca верёвки mв=2 кг. Вся система движется вертикально под действием силы F=100 H, приложенной к верхнему телу и направленной вверх. Найти натяжение верёвки в её центре и в точках крепления тел (точки A, B, C).

Что-то я тут не понимаю!!!!
Macca всей этой системы равна
$M_{vsego}=10+4+2=16(kg)\\P_{vsego}=160(H)$
A сила всего в 100 H, интресно как она это дело тянет???? :blink:

№1 Надо строить график. Должна получиться какая-то штука. Где-то что-то похожее решали!!!

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 06 авг 2007, 17:58

№1
Это как я понял парабола
минимум один
и он находится в точке
(0,55257;2,12709)
как найти его математическими методами, пока не знаю!!!!
Нули функции только при икс=1 и будет 3
пересечения c осью икс нет!!! Это я уже доказывал, находя дискриминант!

Bujhm · Сообщение **Bujhm** » 06 авг 2007, 19:47

andrej163 писал(а):Source of the post
1)K телу массой M=10 кг подвешено на верёвке тело массой m=4 кг. Macca верёвки mв=2 кг. Вся система движется вертикально под действием силы F=100 H, приложенной к верхнему телу и направленной вверх. Найти натяжение верёвки в её центре и в точках крепления тел (точки A, B, C).

Что-то я тут не понимаю!!!!
Macca всей этой системы равна
$M_{vsego}=10+4+2=16(kg)\\P_{vsego}=160(H)$
A сила всего в 100 H, интресно как она это дело тянет???? :blink:

Вся система движется вертикально под действием силы F=100 H, приложенной к верхнему телу и направленной вверх!!!
Ничего не сказано насчёт того тянет ли эта сила систему - движение вертикальное(!), и следует обратить внимание, что сила приложена к верхнему телу.

yourdomain.com