Сложная задача
Сложная задача
Решить в целых числах уравнение
![$$1+2^x+...+2^{2x+1}=y^2$$ $$1+2^x+...+2^{2x+1}=y^2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%241%2B2%5Ex%2B...%2B2%5E%7B2x%2B1%7D%3Dy%5E2%24%24)
Последний раз редактировалось a_l_e_x86 30 ноя 2019, 14:33, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Сложная задача
Поскольку ур-ние сводится к такому:
или
то получаем, что справа число всегда четное, слева - нечетное. За исключением случая, когда
Отсюда ответ
Последний раз редактировалось Vlad_K 30 ноя 2019, 14:33, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Сложная задача
Vlad_K писал(а):Source of the post
...или
то получаем, что справа число всегда четное, слева - нечетное. За исключением случая, когда
Отсюда ответ
Уравнение (*) получено верно. Однако далее надо более детально провести доказательство.
Так как числа
Далее, пусть
Если
Так как обе части последенего равенства не могут равняться нулю, получаем, что число
Ответ: Уравнение имеет два решения:
Последний раз редактировалось alexpro 30 ноя 2019, 14:33, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Сложная задача
Как отмечено ранее, левая часть имеет вид
.
Однако,
![$$ (2^{x+1} - 1)^2 = 2^{2x+2} - 2^{x+2} + 1\leq A \leq 2^{2x+2} = (2^{x+1})^2. $$ $$ (2^{x+1} - 1)^2 = 2^{2x+2} - 2^{x+2} + 1\leq A \leq 2^{2x+2} = (2^{x+1})^2. $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%282%5E%7Bx%2B1%7D%20-%201%29%5E2%20%3D%202%5E%7B2x%2B2%7D%20-%202%5E%7Bx%2B2%7D%20%2B%201%5Cleq%20A%20%5Cleq%202%5E%7B2x%2B2%7D%20%3D%20%282%5E%7Bx%2B1%7D%29%5E2.%20%24%24)
и равенство может выполняться только если
.
Однако,
и равенство может выполняться только если
Последний раз редактировалось AV_77 30 ноя 2019, 14:33, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Сложная задача
AV_77 , alexander_pro верно, +1.
Попробуйте тогла решить задачку попроще
![$$1+2^x+2^{2x+1}=y^2$$ $$1+2^x+2^{2x+1}=y^2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%241%2B2%5Ex%2B2%5E%7B2x%2B1%7D%3Dy%5E2%24%24)
Тоже решить в целых числах
Попробуйте тогла решить задачку попроще
Тоже решить в целых числах
Последний раз редактировалось a_l_e_x86 30 ноя 2019, 14:33, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Сложная задача
Кстати, одна из задач, которые вы решали:
"Найти все целые, взаимно простые числа [a,\b] такие, что
для некоторого натурального числа n"
имеет одно приложение.
Получается, что можно доказать, что ур-ние
![$$\frac{b}{a} = tg\left(\frac{\pi k}{n}\right)$$ $$\frac{b}{a} = tg\left(\frac{\pi k}{n}\right)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%20%3D%20tg%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpi%20k%7D%7Bn%7D%5Cright%29%24%24)
не имеет решения для взаимно простых
и (k, n), a&b > 1,
то есть если угол выражен в градусах или в рациональных долях градуса, то тангенс этого угла не может принимать рациональных значений (за исключением
)
"Найти все целые, взаимно простые числа [a,\b] такие, что
имеет одно приложение.
Получается, что можно доказать, что ур-ние
не имеет решения для взаимно простых
то есть если угол выражен в градусах или в рациональных долях градуса, то тангенс этого угла не может принимать рациональных значений (за исключением
Последний раз редактировалось Vlad_K 30 ноя 2019, 14:33, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Сложная задача
a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
AV_77 , alexander_pro верно, +1.
Попробуйте тогла решить задачку попроще
Тоже решить в целых числах
Получается то же самое
Поскольку ур-ние приводится к виду:
то из положительности z однозначно следует:
откуда решение
Последний раз редактировалось Vlad_K 30 ноя 2019, 14:33, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Сложная задача
Vlad_K писал(а):Source of the post
Получается то же самое
Поскольку ур-ние приводится к виду:
то из положительности z однозначно следует:
откуда решение
Однозначность слегка не так надо трактовать
![Улыбается :)](./images/smilies/icon_e_smile.gif)
Действуя "старым" методом, придем к уравнению
где выбор знака зависит от того, либо
Ответ:
Последний раз редактировалось alexpro 30 ноя 2019, 14:33, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Сложная задача
Верно. +1 (завтра)
He думал, что эту задачу так быстро решат
He думал, что эту задачу так быстро решат
Последний раз редактировалось a_l_e_x86 30 ноя 2019, 14:33, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Алгебра и теория чисел»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 2 гостей