№1 Пусть многочлен c целыми коэффициентами принимает значения при двух целых значениях . Доказать, что если , то не имеет рациональных корней; если же , то рациональным корнем может быть только .
№2 Найти все целые, взаимно простые числа такие, что для некоторого натурального числа .
№3 Известно что cos(asinx)>sin(bcosx) для любых x. Доказать что a^2+b^2<(Pi^2)/4№4 Беговая дорожка постоянной ширины имеет внешний край в виде эллипса c полуосями a,b a>b. Доказать, что ee внутренний край не может быть эллипсом
№5 Для каких a уравнение имеет решение log_a(x)=x
№6 Через точку, лежащую внутри круга радиуса R, проведены две взаимно перпендикулярные хорды, расстояние которых от центра круга равны a и b. Найти площадь части круга, ограниченной этими хордами и наименьшей дугой этой окружности, соединяющей их концы
Участники:
a_l_e_x
Bujhm
Krrechet
Woozya
alexander_pro
Задачи для команды 2
Задачи для команды 2
Последний раз редактировалось Soul 30 ноя 2019, 14:33, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задачи для команды 2
Начну сегодня
Последний раз редактировалось Woozya 30 ноя 2019, 14:33, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задачи для команды 2
Вроде решил 5-ую.
Рассмотрим 2 случая:
1)
Рассмотрим функции
Первая функция монотонно убывает, у вторая монотонно возрастает. Поскольку
и то уравнение имеет решение, причем единственное на отрезке
2)
Рассмотрим взимное расположение графиков функций для различных a
мы видим, что до какого то порогового значения a графики пересекаются. Пороговое значение, будет очевидно, когда прямая
будет касательной к графику функции . Составим уравнение касательной:
Чтобы эта прямая была прямой у=х необходимо, чтобы
Откуда
Таким образом, решения будут при
Как вы думаете, правильно?
Рассмотрим 2 случая:
1)
Рассмотрим функции
Первая функция монотонно убывает, у вторая монотонно возрастает. Поскольку
и то уравнение имеет решение, причем единственное на отрезке
2)
Рассмотрим взимное расположение графиков функций для различных a
мы видим, что до какого то порогового значения a графики пересекаются. Пороговое значение, будет очевидно, когда прямая
будет касательной к графику функции . Составим уравнение касательной:
Чтобы эта прямая была прямой у=х необходимо, чтобы
Откуда
Таким образом, решения будут при
Как вы думаете, правильно?
Последний раз редактировалось a_l_e_x86 30 ноя 2019, 14:33, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задачи для команды 2
Я думаю, что правильно.
Эллипс вобще-то не входит в школьную программу...
№4 Беговая дорожка постоянной ширины имеет внешний край в виде эллипса c полуосями a,b a>b. Доказать, что ee внутренний край не может быть эллипсом
Эллипс вобще-то не входит в школьную программу...
Последний раз редактировалось Krrechet 30 ноя 2019, 14:33, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задачи для команды 2
№6 Через точку, лежащую внутри круга радиуса R, проведены две взаимно перпендикулярные хорды, расстояние которых от центра круга равны a и b. Найти площадь части круга, ограниченной этими хордами и наименьшей дугой этой окружности, соединяющей их концы
He умею делать рисунки, и тем более вставлять их...
Пусть т.O - центр круга, т.A-точка, через кот. провели ходы. Хорды назовем KL и MN. Ha меньшей части дуги ML отметим точку P, на меньшей части дуги KN отметим точку F. Пусть . Опустим из т.O на KL и KN перпендикуляры, они пересекут эти хорды в точках C и B соответственно. По условию OC=a, OB=b (заметим, что ABOC - прямоугольник). Ну и напоследок проведем радиусы OK и ON.
Пусть - искомая площадь.
, где - площадь треугольника MAL, a - площадь части круга, заключенной между хордой ML и дугой MPL.
T.e:
B итоге получим не очень приятный ответ:
Само решение вроде верное, вот ответ вообщем-то не очень красивый (a почему собственно ему и не быть таким???). Правда ИМХО существует другое решение, которое, возможно, дает более приемлимый результат.
Ну что думаете ?
P.S: поправил, просто у себя в черновике ввел случайно повторную переменную (a=ML)- вот и ошибочка...
Последний раз редактировалось Krrechet 30 ноя 2019, 14:33, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задачи для команды 2
Soul писал(а):Source of the post
№2 Найти все целые, взаимно простые числа такие, что для некоторого натурального числа .
Что бы быть честным:
Если i - мнимая единица , то это не школьная программа. Причем даже близко не школьная.
Последний раз редактировалось Angerran 30 ноя 2019, 14:33, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задачи для команды 2
Angerran писал(а):Source of the postSoul писал(а):Source of the post
№2 Найти все целые, взаимно простые числа такие, что для некоторого натурального числа .
Что бы быть честным:
Если i - мнимая единица , то это не школьная программа. Причем даже близко не школьная.
Angerran!!! Вы не в этой команде, вы в нашей команде. (№1, a вы сейчас в команде №2 находитесь)
Вы что, комплексные числа - не школьная программа???? Извенити, даже у нас это в 10 классе учат, a у вас (в России) это где-то 9 класс!!! Так что не беспокойтесь насчёт школьной программы!
Последний раз редактировалось andrej163 30 ноя 2019, 14:33, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задачи для команды 2
Krrechet, по поводу эллипса - уточню что нужно знать для решения. Bce-тки некотрые простейшие факты про эллипс (его уравнение и т.д.) входят у нас в школьную программу.
Angerran, на олимпиадах 11-го класса комплексные числа тоже уже встречаются...
Angerran, на олимпиадах 11-го класса комплексные числа тоже уже встречаются...
Последний раз редактировалось Soul 30 ноя 2019, 14:33, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задачи для команды 2
M | B обоих темах могут общаться только участники своих команд, я, админ и модераторы раздела при необходимости. Остальные сообщения будут удаляться, ибо иначе начнется хаос. |
A | B обоих темах могут общаться только участники своих команд, я, админ и модераторы раздела при необходимости. Остальные сообщения будут удаляться, ибо иначе начнется хаос. |
Последний раз редактировалось kurt 30 ноя 2019, 14:33, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Задачи для команды 2
Я только что закончил 11 класс и нигде комплексных чисел в программе средней общеобразовательной школы не видел. Даже близко не было. Я знаю что говорю. Возможно в серьезных физ-мат школах и они входят, но не в общеобразовательных.
A по поводу команд не волнуйтесь, я помню в какой команде я. Просто условия были, насколько я помню, по школьной программе и я решил указать на этот факт.
A по поводу команд не волнуйтесь, я помню в какой команде я. Просто условия были, насколько я помню, по школьной программе и я решил указать на этот факт.
Последний раз редактировалось Angerran 30 ноя 2019, 14:33, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Алгебра и теория чисел»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 1 гость