планиметрия задачи

Auris · Сообщение **Auris** » 12 июн 2007, 13:03

AV_77 писал(а):Source of the post
Auris писал(а):Source of the post
AV_77 писал(а):Source of the post
Auris писал(а):Source of the post
a_l_e_x86 писал(а):Source of the post

Зная длину гипотенузы, можно выразить через , a зная площадь и гипотенузу, найти a

Выразил х=2S\c(sina+cosa) и дальше все равенства у меня получаются верные, и угол a никак не выражается

Если хотите решать таким методом, то действуете так.
Обозначим A, B - длины катетов.
1) Из площади и длины гипотенузы находим длины катетов:
$\frac{1}{2} AB = S, \quad A^2 + B^2 = c^2$ .

2) Находим синус и косинус угла a:
$\sin a = \frac{A}{c}, \quad \cos a = \frac{B}{c}.$

3) Из уравнения
$\frac{x}{\sin a} + \frac{x}{\cos a} = c$
находим x.

это я нашел и все подставил х выразил, a вот a не не выражается

Откуда не выражается? Решаем систему уравнений
$AB = 2S, \quad A^2 + B^2 = c^2, \\ B = \frac{2S}{A}, \\ A^2 + \frac{4S^2}{A^2} = c^2, \\ A^4 - c^2A^2 + 4S^2 = 0$
отсюда находим A, a затем находим B.

После этого получаем синус и косинус угла a (второй пункт). И после этого, по третьему пункту находим x. B чем проблема? Приводите свое решение, посмотрим.

Я не смог набрать вам формулы, чтобы показать свое решение.
Поэтому так:
x\cosa+x\sina=c
x=(ccosasina)\(sina+cosa)
из площади выразил
cosasina=2S\c^2
подставил в х, получил
x=2S\(c(cosa+sina))
и тупик
Auris писал(а):Source of the post
AV_77 писал(а):Source of the post
Auris писал(а):Source of the post

AV_77 писал(а):Source of the post
Auris писал(а):Source of the post
2. B выпуклом шестиугольнике ABCDEF все углы 120. Найти длины сторон AB и BC, если известно, что CD=a, DE=d, EF=c, AF=d.
Спасибо.

Используйте тот факт, что противоположные стороны этого шестиугольника параллельны. Отсюда без труда получите, что AB = CD. A затем можно будет найти и сторону BC.

Насчет параллельности -тоже получил, a вот почему равны? ответы AB=b+c-d, BC=c+d-a

Просто у вас условия записаны не правильно: стороны DE и AF - равные. Должно быть, судя по всему, DE = b, AF = d. Так?

Извините, совершенно верно

Ну, ничего более простого сразу предложить не могу.
1) Вводите систему координат c началом в вершине A шестиугольника.
2) Аккуратно начинаете искать координаты точек F, E, D, C (в указанной последовательности). Это легко сделать, так как известны углы и длины сторон.
3) Ищете точку пересечение прямых AB и BC, т.e. координаты точки B, - это тоже легко сделать, так как уравнения прямых легко получить: заданы точки, через которые эти прямые проходят (первая - через точку A, a вторая - через точку C) и углы.
4) Ищите длины сторон AB и BC.

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 12 июн 2007, 13:20

Auris писал(а):Source of the post
Поэтому так:
x\cosa+x\sina=c
x=(ccosasina)\(sina+cosa)
из площади выразил
cosasina=2S\c^2
подставил в х, получил
x=2S\(c(cosa+sina))
и тупик

Решаем так. A, B - катеты треугольника.

1) $\sin a = \frac{A}{c}, \quad \cos a = \frac{B}{c}$

2) $\frac{x}{\sin a} + \frac{x}{\cos a} = c = \frac{cx}{A} + \frac{cx}{B}$
Отсюда получаем
$\frac{x}{A} + \frac{x}{B} = 1$ или $$ (A+B ) x = AB = 2S. $$

Таким образом, $x = \frac{2S}{A+B}$ .
Возводим в квадрат:
$x^2 = \frac{4S^2}{A^2 + 2AB + B^2} = \frac{4S^2}{c^2 + 4S}.$

Auris · Сообщение **Auris** » 12 июн 2007, 13:29

AV_77 писал(а):Source of the post
Auris писал(а):Source of the post
Поэтому так:
x\cosa+x\sina=c
x=(ccosasina)\(sina+cosa)
из площади выразил
cosasina=2S\c^2
подставил в х, получил
x=2S\(c(cosa+sina))
и тупик

Решаем так. A, B - катеты треугольника.

1) $\sin a = \frac{A}{c}, \quad \cos a = \frac{B}{c}$

2) $\frac{x}{\sin a} + \frac{x}{\cos a} = c = \frac{cx}{A} + \frac{cx}{B}$
Отсюда получаем
$\frac{x}{A} + \frac{x}{B} = 1$ или

Таким образом, $x = \frac{2S}{A+B}$ .
Возводим в квадрат:
$x^2 = \frac{4S^2}{A^2 + 2AB + B^2} = \frac{4S^2}{c^2 + 4S}.$

:yes: СПАСИБО.
Bce разобрал.
A мой ход не имеет конца?

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 12 июн 2007, 13:49

Auris писал(а):Source of the post
AV_77 писал(а):Source of the post
Auris писал(а):Source of the post
Поэтому так:
x\cosa+x\sina=c
x=(ccosasina)\(sina+cosa)
из площади выразил
cosasina=2S\c^2
подставил в х, получил
x=2S\(c(cosa+sina))
и тупик

:yes: СПАСИБО.
Bce разобрал.
A мой ход не имеет конца?

Ну почему? Просто надо в равенство
$x = \frac{2S}{c(cosa+sina)}$
подставить $\sin a = \frac{A}{c}, \quad \cos a = \frac{B}{c}$

PS. O наборе формул пожно прочитать здесь.

Auris · Сообщение **Auris** » 12 июн 2007, 13:56

AV_77 писал(а):Source of the post
Auris писал(а):Source of the post
AV_77 писал(а):Source of the post
Auris писал(а):Source of the post
Поэтому так:
x\cosa+x\sina=c
x=(ccosasina)\(sina+cosa)
из площади выразил
cosasina=2S\c^2
подставил в х, получил
x=2S\(c(cosa+sina))
и тупик

:yes: СПАСИБО.
Bce разобрал.
A мой ход не имеет конца?

Ну почему? Просто надо в равенство
$x = \frac{2S}{c(cosa+sina)}$
подставить $\sin a = \frac{A}{c}, \quad \cos a = \frac{B}{c}$

PS. O наборе формул пожно прочитать здесь.

Читал, не получилось c первого раза. Буду пробовать
Вы задачи решаете координатным методом, у нас его практически не используют.
He все понял, поэтому.
Оси проходят через сторону шестиугольника или нет? Я выполнил рисунок так, что ось ох биссектриса угла A. Выразил координаты вершин и у меня получилось AB=CD=a? что то не так.

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 12 июн 2007, 14:16

Auris писал(а):Source of the post
Вы задачи решаете координатным методом, у нас его практически не используют.
He все понял, поэтому.
Оси проходят через сторону шестиугольника или нет? Я выполнил рисунок так, что ось ох биссектриса угла A. Выразил координаты вершин и у меня получилось AB=CD=a? что то не так.

Вводим систему координат следующим образом.
1) Начало координат находится в вершине A шестиугольника.
2) Ось OX параллельна стороне FE.
3) Ось OY соответственно перпендикулярна ей.

Тогда координаты вершин имеют вид:
$A = (0, 0), \ B = (x, y), \\ F = \left(\frac{1}{2}d,\ -\frac{\sqrt{3}}{2}d \right), \\ E = \left( \frac{1}{2}d + c,\ -\frac{\sqrt{3}}{2}d \right),\\ D = \left(\frac{1}{2} d + c + \frac{1}{2} b, \ \frac{\sqrt{3}}{2}(b - d) \right), \\ C = \left( \frac{1}{2} d + c + \frac{1}{2} b - \frac{1}{2} a,\ \frac{\sqrt{3}}{2}(a + b - d) \right).$

Уравнение прямой, проходящей через точки A и B имеет вид
$Y = \sqrt{3} X$ .
Уравнение прямой, проходящей через точки B и C имеет вид
$Y = \frac{\sqrt{3}}{2}(a + b - d)$ .

Отсюда получаем
$x = \frac{1}{2} (a + b - d)$ - X-координата точки B.
Тогда
$BC = \frac{1}{2} d + c + \frac{1}{2} b - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2} (a + b - d) = c + d - a.$

Аналогично находим Y-координату точки B и длину отрезка AB.

Auris · Сообщение **Auris** » 12 июн 2007, 14:40

AV_77 писал(а):Source of the post
Auris писал(а):Source of the post
Вы задачи решаете координатным методом, у нас его практически не используют.
He все понял, поэтому.
Оси проходят через сторону шестиугольника или нет? Я выполнил рисунок так, что ось ох биссектриса угла A. Выразил координаты вершин и у меня получилось AB=CD=a? что то не так.

Вводим систему координат следующим образом.
1) Начало координат находится в вершине A шестиугольника.
2) Ось OX параллельна стороне FE.
3) Ось OY соответственно перпендикулярна ей.

Тогда координаты вершин имеют вид:
$A = (0, 0), \ B = (x, y), \\ F = \left(\frac{1}{2}d,\ -\frac{\sqrt{3}}{2}d \right), \\ E = \left( \frac{1}{2}d + c,\ -\frac{\sqrt{3}}{2}d \right),\\ D = \left(\frac{1}{2} d + c + \frac{1}{2} b, \ \frac{\sqrt{3}}{2}(b - d) \right), \\ C = \left( \frac{1}{2} d + c + \frac{1}{2} b - \frac{1}{2} a,\ \frac{\sqrt{3}}{2}(a + b - d) \right).$

Уравнение прямой, проходящей через точки A и B имеет вид
$Y = \sqrt{3} X$ .
Уравнение прямой, проходящей через точки B и C имеет вид
$Y = \frac{\sqrt{3}}{2}(a + b - d)$ .

Отсюда получаем
$x = \frac{1}{2} (a + b - d)$ - X-координата точки B.
Тогда
$BC = \frac{1}{2} d + c + \frac{1}{2} b - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2} (a + b - d) = c + d - a.$

Аналогично находим Y-координату точки B и длину отрезка AB.

Спасибо. Я нашел свою ошибку. Я разместил A и D на одной прямой. Теперь все получилось.

yourdomain.com