Дифференициальная геометрия

uniquem · Сообщение **uniquem** » 05 июн 2007, 19:53

Всем Привет!
Помогите пожалуйста c задачками.
1. Найти особую точку поверхности
$$x^2+y^2-z^2-6x-8y-10z=0$$

и упростить уравнение этой поверхности, перенеся начало координат в эту точку.

Мои мысли:Особые точки - это те точки, в которых нормаль неопределена или равна 0.
Находим нормаль поверхности.
$\vec{N}=(2x-6,2y-8,-2z-10)$
приравниваем к нулю.

$$2x-6=0, 2y-8=0, -2z-10=0$$

Особая точка $$M(3,4,-5)$$

. A как упростить уравнение поверхности?? Подскажите пожалуйста!!

2. Исследовать характер точек на поверхности, полученной вращением синусоиды $$y=sinx$$

вокруг оси Ox. У меня есть решение, вот только не понятно, как из $$y=sinx$$

получили

. Помогите понять пожалуйста.

3. Найти уравнения линий на сфере
$$x=acosusinv,y=asinusinv,z=acosv$$

делящих углы между параллелями и меридианами пополам.
Первую квадратичную и вторую квадратичную формы я нашла, длину меридиана и параллели тоже. A как найти уравнений линий на сфере не знаю.. Подскажите пожалуйста...

LedZeppelin · Сообщение **LedZeppelin** » 06 июн 2007, 02:03

uniquem писал(а):Source of the post
Всем Привет!
Помогите пожалуйста c задачками.
1. Найти особую точку поверхности

и упростить уравнение этой поверхности, перенеся начало координат в эту точку.

Мои мысли:Особые точки - это те точки, в которых нормаль неопределена или равна 0.
Находим нормаль поверхности.
$\vec{N}=(2x-6,2y-8,-2z-10)$
приравниваем к нулю.

Особая точка . A как упростить уравнение поверхности?? Подскажите пожалуйста!!

я не знаю кто придумал такое название, но насколько я понял надо привести уравнение поверхности к виду при котором мы можем определить её тип.
в данном случае надо просто выделить полные квадраты и отсюда сразу получаться и ваша особая точка и новое уравнение поверзности.

LedZeppelin · Сообщение **LedZeppelin** » 06 июн 2007, 02:13

uniquem писал(а):Source of the post
2. Исследовать характер точек на поверхности, полученной вращением синусоиды вокруг оси Ox. У меня есть решение, вот только не понятно, как из получили
. Помогите понять пожалуйста.

все сечения нашей поверхности плоскостью параллельной Oyz есть окружности радиуса $$Sin(x_0)$$

поэтому любое сечение можно задать (в полярных координатах)

$\{{y=Sin(x)Sin(v)\\z=Sin(x_0)Cos(v)}$
и переходя ко всей поверхности получаем
$\{{x=x\\y=Sin(x)Sin(v)\\z=Sin(x_0)Cos(v)}$

LedZeppelin · Сообщение **LedZeppelin** » 06 июн 2007, 02:26

uniquem писал(а):Source of the post
3. Найти уравнения линий на сфере

делящих углы между параллелями и меридианами пополам.
Первую квадратичную и вторую квадратичную формы я нашла, длину меридиана и параллели тоже. A как найти уравнений линий на сфере не знаю.. Подскажите пожалуйста...

ну вопервых это страшное уравнение в декартовых координатах
$$x^2+y^2+z^2=a^2$$

пусть ты нашла плоскость в которой лежит наша прямая (по 3 точкам или нормали и точке это не важно)
и пусть уравнение этой плоскости
$$Ax+By+Cz+D=0$$

тогда твоя кривая будет задаваться системой

$\{{x^2+y^2+z^2=a^2\\Ax+By+Cz+D=0}$

uniquem · Сообщение **uniquem** » 06 июн 2007, 13:27

Тогда на счет первого задания получается:
$$(x-3)^2+(y-4)^2-(z+5)^2=0$$

A что это за фигура такая??

Спасибо Большое LedZeppelin!

bot · Сообщение **bot** » 06 июн 2007, 13:57

Это конус.

uniquem · Сообщение **uniquem** » 07 июн 2007, 12:19

Спасибо bot!

yourdomain.com