Линейная алгебра

Pavlukhin · Сообщение **Pavlukhin** » 03 июн 2007, 22:15

существует такая теорема
Столбцы матрицы линейного оператора L определяются следующим образом
$L: V\right U\\(L_e)^{(i)}=L(e_i)_e$
то есть столбец матрицы оператора c данным номером получается применением этого оператора к базисному вектору c этим номером
a каково доказательство этой теоремы?
и еще вырожденным называет оператор сопоставляющий любому вектору нулевой вектор?

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 03 июн 2007, 22:28

Pavlukhin писал(а):Source of the post
1) существует такая теорема
Столбцы матрицы линейного оператора L определяются следующим образом
$L: V\right U\\(L_e)^{(i)}=L(e_i)_e$
то есть столбец матрицы оператора c данным номером получается применением этого оператора к базисному вектору c этим номером
a каково доказательство этой теоремы?
2) и еще вырожденным называет оператор сопоставляющий любому вектору нулевой вектор?

1) Доказательства у этой теоремы нет, так как это вовсе не теорема, a определение матрицы линейного оператора.

2) Оператор называется вырожденным, если вырождена его матрица. Или, если не связываться c матрицами, если оператор имеет ненулевое ядро.

Pavlukhin · Сообщение **Pavlukhin** » 03 июн 2007, 22:37

ладно вспомнил тут вопрос на засыпку, который задавали сумасшедшие аспирантки

3) есть оператор, который сопостовляет любому вектору плоскость ему перпендикулярную, какова размерность образа этого оператора

не вдаваясь в подробности я бы ответил что размерность образа этого оператора совпадает c размерностью пространства к котором он действует, но что то очень не уверен

4) будет ли такой оператор линейным и существует ли матрица такого оператора?

5) если знаете ресурс где можно хорошо почитать всю эту операторную алгебру, то попрошу ссылочку, чтобы не донимать тут глупыми вопросами

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 03 июн 2007, 22:47

Pavlukhin писал(а):Source of the post
ладно вспомнил тут вопрос на засыпку, который задавали сумасшедшие аспирантки

3) есть оператор, который сопостовляет любому вектору плоскость ему перпендикулярную, какова размерность образа этого оператора
не вдаваясь в подробности я бы ответил что размерность образа этого оператора совпадает c размерностью пространства к котором он действует, но что то очень не уверен
4) будет ли такой оператор линейным и существует ли матрица такого оператора?
5) если знаете ресурс где можно хорошо почитать всю эту операторную алгебру, то попрошу ссылочку, чтобы не донимать тут глупыми вопросами

3, 4) Это отображение не является линейным оператором. Да и вообще оператором не является. Следовательно, и матрицы у него нет. Кстати, и про размерность его образа тоже ничего сказать нельзя: оно отображает векторное пространство в множество плоскостей, которое не имеет ни какой алгебраической структуры (сложение плоскостей не определено).

5) Ссылки на электронные ресурсы привести не могу. Ho литературу посоветевать - это можно:
5.1) Кострикин A.И. Введение в алгебру, Ч. II. Основы линейной алгебры.
5.2) Винберг Э.Б. Курс алгебры.
5.3) Артин Э. название или "Алгебраическая геометрия" или "Геометрическая алгебра" (точно не помню).
5.4) Ван дер Варден Б.Л. Алгебра.
5.5) Ленг C. Алгебра.
5.6) Шилов ?.?. Векторные пространства.
5.7) Райков ?.?. Векторные пространства.
5.8) Мальцев A.И. Основы линейной алгебры.
Наверное хватит.

Pavlukhin · Сообщение **Pavlukhin** » 03 июн 2007, 22:53

[quote=]Это отображение не является линейным оператором. Да и вообще оператором не является. Следовательно, и матрицы у него нет.[/quote]
вот тебе и раз...нужно будет потом у преподавателя выяснить чего же тогда хотели аспирантки
спасибо за литературу

LedZeppelin · Сообщение **LedZeppelin** » 04 июн 2007, 00:51

AV_77 писал(а):Source of the post

2) Оператор называется вырожденным, если вырождена его матрица. Или, если не связываться c матрицами, если оператор имеет нулевое ядро.

вот как раз то у вырожденного ядро совпадает co всем пространством

AV_77 писал(а):Source of the post

3, 4) Это отображение не является линейным оператором. Да и вообще оператором не является. Следовательно, и матрицы у него нет. Кстати, и про размерность его образа тоже ничего сказать нельзя: оно отображает векторное пространство в множество плоскостей, которое не имеет ни какой алгебраической структуры (сложение плоскостей не определено).

возьмём ортонормированный базис пространсчтва
$$i_1,i_2,...,i_n$$

и определим
$f: f(i_j)=i_{j+1}$
f -- линейное преобразование (линейный оператор в вашей терминологии) и переводит любой вектор в перпендекулярный

Pavlukhin · Сообщение **Pavlukhin** » 04 июн 2007, 00:52

тогда получается любой вектор переходит в нулевой как я и сказал чоли?

f -- линейное преобразование (линейный оператор в вашей терминологии) и переводит любой вектор в перпендекулярный

что то непонятно причем здесь перпендикулярный вектор, речь же навроде про плоскость

LedZeppelin · Сообщение **LedZeppelin** » 04 июн 2007, 00:54

Pavlukhin писал(а):Source of the post
тогда получается любой вектор переходит в нулевой как я и сказал чоли?

вырожденное да

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 04 июн 2007, 00:57

LedZeppelin писал(а):Source of the post
Pavlukhin писал(а):Source of the post
тогда получается любой вектор переходит в нулевой как я и сказал чоли?

вырожденное да

Нет, это утверждение не верно. Из вырожденности матрицы оператора не следует что он все векторы переводит в 0

Pavlukhin · Сообщение **Pavlukhin** » 04 июн 2007, 01:02

давайте подумаем тогда, если матрица оператора вырождена, что c того следует?
если подумать и поискать ядро этого оператора, запишется матричное уравнение, если матрица оператора вырожденная то уравнение должно иметь просто КОРНИ
уравнение имеет корни, значит у нас есть ядро
тогда получается следующее, если матрица оператора невырождена, то размерность ядра этого оператора равна 0
или c другой стороны только вырожденный оператор может иметь ненулевое ядро?так чтоли?

yourdomain.com