Интересные олимпиадные задачи

Krrechet · Сообщение **Krrechet** » 31 май 2007, 14:11

Вспомнил не сложную, но достаточно красивую задачку:
Дана функция $$f(x)=x^2+12x+30 $$

,
решить уравнение: $$f(f(f(f(f(x)))))=0 $$

.

Krrechet · Сообщение **Krrechet** » 31 май 2007, 16:45

Вашему вниманию предлагается еще одна интересная задачка c хитроумным решением:
Сумма целых чисел $$x, y, z, t$$

равна нулю. Докажите, что число
${x^4+y^4+z^4 +t^4 \over 2}+2xyzt$ является квадратом целого числа.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 31 май 2007, 18:51

Krrechet писал(а):Source of the post
Вспомнил не сложную, но достаточно красивую задачку:
Дана функция ,
решить уравнение: .

Хм.. при решении задачи "в лоб" у меня получилось $x=-6\pm\sqrt[32]6$
Неправильно наверное

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 31 май 2007, 19:15

Krrechet писал(а):Source of the post
Вспомнил не сложную, но достаточно красивую задачку:
Дана функция ,
решить уравнение: .

Пусть

решение уравнения $$x^2+12x+30=0$$

тогда

можно заменить на $$f(f(f(f(x))))=x_1 $$

Далее решаем уравнение $$x^2+12x+30=x_1$$

и так далее решаем $$2^5$$

квадратных уравнения и будет нам счастье

Krrechet · Сообщение **Krrechet** » 31 май 2007, 19:32

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
Krrechet писал(а):Source of the post
Вспомнил не сложную, но достаточно красивую задачку:
Дана функция ,
решить уравнение: .

Хм.. при решении задачи "в лоб" у меня получилось $x=-6\pm\sqrt[32]6$
Неправильно наверное

Ответ верный, хотелось бы, чтобы вы догадались до простого и красивого решения....

bot · Сообщение **bot** » 31 май 2007, 19:35

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post Неправильно наверное

Пральна.

Отсюда всё очевидно.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 31 май 2007, 19:39

bot писал(а):Source of the post
Пральна.

Отсюда всё очевидно.

И правда.. как же это я не заметил...

Krrechet · Сообщение **Krrechet** » 31 май 2007, 19:47

Действительно:
$$f(x)=x^2+12x+30=(x+6)^2-6$$

,
Отсюдо не сложно получить, что
$$f(f(x))=((x+6)^2)^2-6=(x+6)^4-6$$

,
a также $f(f(f(f(f(x)))))=(x+6)^{32}-6$ .
Отсюдаа и получаем ответ: $x=-6 \pm \sqrt[32]{6}$

Pavlukhin · Сообщение **Pavlukhin** » 01 июн 2007, 01:01

$\frac{x^4+y^4+z^4+t^4}{2}+2xyzt$

$x+y+z+t=0\\x+y=-(z+t)\\(x+y)^2=(z+t)^2=a$

$x^4+y^4+z^4+t^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+(z^2+t^2)^2-2z^2t^2=((x+y)^2-2xy)^2-2x^2y^2+((z+t)^2-2zt)^2-2z^2t^2=\\=(a-2xy)^2-2x^2y^2+(a-2zt)^2-2z^2t^2=a^2-4axy+4x^2y^2-2x^2y^2+a^2-4azt+4z^2t^2-2z^2t^2=\\=2a^2-4a(xy+zt)+2(x^2y^2+z^2t^2)$

$\frac{x^4+y^4+z^4+t^4}{2}+2xyzt=a^2-2a(xy+zt)+(x^2y^2+z^2t^2+2xyzt)=a^2-2a(xy+zt)+(xy+zt)^2=(a-(xy+zt))^2$

вуаля...давно так не радовался решая задачки))))

Krrechet · Сообщение **Krrechet** » 02 июн 2007, 02:08

Pavlukhin, молодец, вроде все правильно (во всяком случае я ошибки не вижу): +1

Хотелось бы еще какие-нибудь способы решения увидеть, прежде чем я выложу авторкое решение...

PS: что-то какой-то слабоватый энтузиазм по данной теме... почему ни кто не пишет co своей стороны интересные задачи? И элита форума что-то молчит (Natrix, AV_77 ... )

yourdomain.com