Сумма натуральных чисел возведенных в степень

[Rhein]

Я когда-то уже поднимал эту тему, вот хочу уточнить кое-что.
Любую сумму 1^a+2^a+3^a+...+n^a
можно выразить в виде произведения многочленов.
Допустим:
1^2+2^2+3^2+...+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+...+n^3 = n(n+1)n(n+1)/4
1^4+2^4+3^4+...+n^4 = n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
1^5+2^5+3^5+...+n^5 = n(n+1)n(n+1)(2n^2+2n-1)/12
1^6+2^6+3^6+...+n^6 = n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)/42
....
мне известны также формулы для 7 и 8
Вот хотелось бы найти где-то и для более высоких степеней.

[AV_77]

Source of the post
Я когда-то уже поднимал эту тему, вот хочу уточнить кое-что.
Любую сумму 1^a+2^a+3^a+...+n^a
можно выразить в виде произведения многочленов.
Допустим:
1^2+2^2+3^2+...+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+...+n^3 = n(n+1)n(n+1)/4
1^4+2^4+3^4+...+n^4 = n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
1^5+2^5+3^5+...+n^5 = n(n+1)n(n+1)(2n^2+2n-1)/12
1^6+2^6+3^6+...+n^6 = n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)/42
....
мне известны также формулы для 7 и 8
Вот хотелось бы найти где-то и для более высоких степеней.

Вам ранее ответили на вопрос как искать эти многочлены. Что нужно конкретно? По приведенной ранее схеме (Формула суммы натуральных чисел от 1 до N в степени a)находите эти многочлены, разлагаете их на множители и вперед. A вообще проще поискать в каких-нибудь справочниках.

PS Вообще говоря, эти суммы особого применения в математике не имеют. Ha практике их применяют настолько редко (я лично никогда не встречал применение сумм выше 3-й степени, разве лишь в задачах ), что вычисление этих многочленов - ненужная работа.