Еще одно уравнение

Johan · Сообщение **Johan** » 28 мар 2007, 14:10

Помогите решить пожалуйста...
9x^4 + 3x^3 - 14x^2 - 2x + 4=0
Первый корень я нашел x=1
Затем поделили на x-1
Получилось 9x^3 + 12x^2 - 2x - 4=0
A как дальше надо искать корни?

Johan · Сообщение **Johan** » 28 мар 2007, 14:41

Люди, подскажите пожалуйста идею решения вот этого чуда=)

[img]/modules/file/icons/x-office-document.png[/img] 1.doc

master · Сообщение **master** » 28 мар 2007, 15:22

Может так
$x\not=0\\x^2-1+\frac{x^2}{(x+1)^2}=0\\\frac{(x^2-1)(x+1)^2}{(x+1)^2}+\frac{x^2}{(x+1)^2}=0\\\frac{(x^2-1)(x+1)^2+x^2}{(x+1)^2}=0$

$$(x^2-1)(x+1)^2+x^2=0$$

Johan · Сообщение **Johan** » 28 мар 2007, 16:25

master писал(а):Source of the post
Может так
$x\not=0\\x^2-1+\frac{x^2}{(x+1)^2}=0\\\frac{(x^2-1)(x+1)^2}{(x+1)^2}+\frac{x^2}{(x+1)^2}=0\\\frac{(x^2-1)(x+1)^2+x^2}{(x+1)^2}=0$

И получится уравнение 4 степени...
Я думаю Должен быть другой способ :rolleyes:

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 28 мар 2007, 18:27

сделаем замену переменной $x=\frac {1} {y}$

$\frac {1} {y^2} + \frac {1} {(y+1)^2}=1$

сделаем замену переменной $y=z-\frac {1} {2}$

$\frac {2*z^2+\frac {1} {2}} {(z^2-\frac {1} {4})^2}=1$

сделаем замену переменной $z=\sqrt {v}$

$v^2-\frac {5} {2}*v - \frac {7} {16}=0$

$x=\frac {2} {\sqrt{5+4*\sqrt{2}}-1}$

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 28 мар 2007, 20:56

Johan писал(а):Source of the post
Помогите решить пожалуйста...
9x^4 + 3x^3 - 14x^2 - 2x + 4=0
Первый корень я нашел x=1
Затем поделили на x-1
Получилось 9x^3 + 12x^2 - 2x - 4=0
A как дальше надо искать корни?

Кроме целых корней, можно попытаться найти рациональные корни. Они будут иметь вид $\frac {m} {n}$ где m-делитель коеффициента при старшей степени. n - делитель свободного члена.
Данное уравнение имеет рациональный корень
${-}\frac {2} {3}$ в чем можно убедится либо подставив значение в уравнение, либо воспользовавшись схемой Горнера

после деления на $(x{+}\frac {2} {3})$ уравнение сводится к квадратному

Johan · Сообщение **Johan** » 28 мар 2007, 21:35

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
Johan писал(а):Source of the post
Помогите решить пожалуйста...
9x^4 + 3x^3 - 14x^2 - 2x + 4=0
Первый корень я нашел x=1
Затем поделили на x-1
Получилось 9x^3 + 12x^2 - 2x - 4=0
A как дальше надо искать корни?

Кроме целых корней, можно попытаться найти рациональные корни. Они будут иметь вид $\frac {m} {n}$ где m-делитель коеффициента при старшей степени. n - делитель свободного члена.
Данное уравнение имеет рациональный корень
${-}\frac {2} {3}$ в чем можно убедится либо подставив значение в уравнение, либо воспользовавшись схемой Горнера

после деления на $(x{+}\frac {2} {3})$ уравнение сводится к квадратному

Спасибо большое.

Johan · Сообщение **Johan** » 28 мар 2007, 22:41

Pavlovsky писал(а):Source of the post
сделаем замену переменной $x=\frac {1} {y}$

$\frac {1} {y^2} + \frac {1} {(y+1)^2}=1$

сделаем замену переменной $y=z-\frac {1} {2}$

$\frac {2*z^2+\frac {1} {2}} {(z^2-\frac {1} {4})^2}=1$

сделаем замену переменной $z=\sqrt {v}$

$v^2-\frac {5} {2}*v - \frac {7} {16}=0$

$x=\frac {2} {\sqrt{5+4*\sqrt{2}}-1}$

Боюсь спросить, a нет ли способа попроще?

Johan · Сообщение **Johan** » 29 мар 2007, 00:18

Ребята, вот еще трудность появилась c уравнениями. Помогите пожалуйста

[img]/modules/file/icons/x-office-document.png[/img] 2.doc

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 29 мар 2007, 00:51

Уравнения такого типа называется симметрическим уравнением 4 степени. Решается делением обеих частей на $$x^2$$

$78x^2-133x+78-133\frac {1} {x}+78\frac {1} {x^2}=0$

Группируем:

$78(x^2+\frac {1} {x^2})-133(x+\frac {1} {x})+78=0$

Делаем замену
$x+\frac {1} {x}=t$

$t^2=x^2+\frac {1} {x^2}+2$

отсюда
$x^2+\frac {1} {x^2}=t^2-2$

Подставляя в уравнение, получаем квадратное уравнение относительно t

yourdomain.com