С виду просто, поэтому и поместила в школьную математику. Попробовала с помощью мат.индукции, получаются такие громоздкие выкладки, что сама в них запуталась. Как доказать? Неравенство вроде очевидное.. Присоветуйте, пжлст.
Доказать неравенство
Доказать неравенство
Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала числовой ряд на сходимость, доказала, что он сходится, а вот для его абсолютной сходимости пришлось доказывать одно промежуточное неравенство. Неравенство такое:
.
С виду просто, поэтому и поместила в школьную математику. Попробовала с помощью мат.индукции, получаются такие громоздкие выкладки, что сама в них запуталась. Как доказать? Неравенство вроде очевидное.. Присоветуйте, пжлст.
С виду просто, поэтому и поместила в школьную математику. Попробовала с помощью мат.индукции, получаются такие громоздкие выкладки, что сама в них запуталась. Как доказать? Неравенство вроде очевидное.. Присоветуйте, пжлст.
Последний раз редактировалось GEPIDIUM 27 ноя 2019, 17:52, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Доказать неравенство
Распишите по биному Ньютона и посмотрите, как меняется каждое слагаемое при увеличении
(ну и следует учесть изменение количества слагаемых при увеличении
).
А вообще, замечательные пределы подробно расписываются в учебниках матанализа. В том числе возрастание указанной выше последовательности используется для доказательства второго замечательного предела. Не смотрели?
А вообще, замечательные пределы подробно расписываются в учебниках матанализа. В том числе возрастание указанной выше последовательности используется для доказательства второго замечательного предела. Не смотрели?
Последний раз редактировалось 12d3 27 ноя 2019, 17:52, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Доказать неравенство
12d3, в учебнике доказывается ограниченность этой последовательности, и написано, что последовательность возрастающая, о чём известно из школьного курса алгебры. Вот я и пытаюсь сама вспомнить этот самый школьный курс.
Попробую расписать по биному Ньютона. Только поясните, как именно учесть количество слагаемых при
?
Попробую расписать по биному Ньютона. Только поясните, как именно учесть количество слагаемых при
Последний раз редактировалось GEPIDIUM 27 ноя 2019, 17:52, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Доказать неравенство
Я имею в виду, что в раскрытом биноме дляGEPIDIUM писал(а):Source of the post Только поясните, как именно учесть количество слагаемых при n\to \infty?
Значит, стоит открыть другой учебник. Я открыл Фихтенгольца, там есть. И честно говоря, не помню, чтобы такое было в школьном курсе алгебры. Может, это в каком-то очень продвинутом школьном курсе?GEPIDIUM писал(а):Source of the post 12d3, в учебнике доказывается ограниченность этой последовательности, и написано, что последовательность возрастающая, о чём известно из школьного курса алгебры.
Последний раз редактировалось 12d3 27 ноя 2019, 17:52, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Доказать неравенство
Можно наверно просто показать возрастание функции
через производную.
Последний раз редактировалось zykov 27 ноя 2019, 17:52, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Доказать неравенство
Неравенство Бернулли:
![$$\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{\frac{n+1}{n}}>1+\frac 1 n$$ $$\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{\frac{n+1}{n}}>1+\frac 1 n$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cleft%281%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%2B1%7D%5Cright%29%5E%7B%5Cfrac%7Bn%2B1%7D%7Bn%7D%7D%3E1%2B%5Cfrac%201%20n%24%24)
Последний раз редактировалось Shadows 27 ноя 2019, 17:52, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Доказать неравенство
Как вариант, предлагаю неравенство Коши.Shadows писал(а):Source of the post Неравенство Бернулли
Последний раз редактировалось ARRY 27 ноя 2019, 17:52, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Доказать неравенство
zykov, Shadows, предложенные вами методы имеют один небольшой недостаток - в них так или иначе неявно используется второй замечательный предел, для вывода которого надо доказать требуемое неравенство.
Последний раз редактировалось 12d3 27 ноя 2019, 17:52, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Доказать неравенство
12d3, согласен.
Последний раз редактировалось Shadows 27 ноя 2019, 17:52, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Доказать неравенство
12d3, вот попробовала раскрыть левую часть неравенства по биному Ньютона. Получается так:
![$$\displaystyle \left (1+\frac {1}{n+1}\right )^{n+1}=1~+~ \frac {n+1}{1!}\cdot \frac {1}{n+1}~+~\frac {(n+1)\cdot n}{2!}\cdot \frac {1}{(n+1)^2}~+~\frac {(n+1)\cdot n\cdot (n-1)}{3!}\cdot \frac {1}{(n+1)^3}+\ldots +\frac {(n+1)\cdot n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot 2\cdot 1}{(n+1)!}\cdot \frac {1}{(n+1)^{n+1}}=$$ $$\displaystyle \left (1+\frac {1}{n+1}\right )^{n+1}=1~+~ \frac {n+1}{1!}\cdot \frac {1}{n+1}~+~\frac {(n+1)\cdot n}{2!}\cdot \frac {1}{(n+1)^2}~+~\frac {(n+1)\cdot n\cdot (n-1)}{3!}\cdot \frac {1}{(n+1)^3}+\ldots +\frac {(n+1)\cdot n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot 2\cdot 1}{(n+1)!}\cdot \frac {1}{(n+1)^{n+1}}=$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdisplaystyle%20%5Cleft%20%281%2B%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%2B1%7D%5Cright%20%29%5E%7Bn%2B1%7D%3D1~%2B~%20%5Cfrac%20%7Bn%2B1%7D%7B1%21%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%2B1%7D~%2B~%5Cfrac%20%7B%28n%2B1%29%5Ccdot%20n%7D%7B2%21%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%28n%2B1%29%5E2%7D~%2B~%5Cfrac%20%7B%28n%2B1%29%5Ccdot%20n%5Ccdot%20%28n-1%29%7D%7B3%21%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%28n%2B1%29%5E3%7D%2B%5Cldots%20%2B%5Cfrac%20%7B%28n%2B1%29%5Ccdot%20n%5Ccdot%20%28n-1%29%5Ccdot%20%5Cldots%20%5Ccdot%202%5Ccdot%201%7D%7B%28n%2B1%29%21%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%28n%2B1%29%5E%7Bn%2B1%7D%7D%3D%24%24)
![$$\displaystyle =1~+~1~+~\frac {1}{2!}\cdot \left (1-\frac {1}{n+1}\right )~+~\frac {1}{3!}\cdot \left (1-\frac{1}{n+1}\right )\cdot \left (1-\frac {2}{n+1}\right )+\ldots +\frac {1}{(n+1)!}\cdot \left (1-\frac {1}{n+1}\right )\cdot \left (1-\frac {2}{n+1}\right )\cdot \ldots \cdot \left (1-\frac{n}{n+1}\right )$$ $$\displaystyle =1~+~1~+~\frac {1}{2!}\cdot \left (1-\frac {1}{n+1}\right )~+~\frac {1}{3!}\cdot \left (1-\frac{1}{n+1}\right )\cdot \left (1-\frac {2}{n+1}\right )+\ldots +\frac {1}{(n+1)!}\cdot \left (1-\frac {1}{n+1}\right )\cdot \left (1-\frac {2}{n+1}\right )\cdot \ldots \cdot \left (1-\frac{n}{n+1}\right )$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdisplaystyle%20%3D1~%2B~1~%2B~%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%21%7D%5Ccdot%20%5Cleft%20%281-%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%2B1%7D%5Cright%20%29~%2B~%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%21%7D%5Ccdot%20%5Cleft%20%281-%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%2B1%7D%5Cright%20%29%5Ccdot%20%5Cleft%20%281-%5Cfrac%20%7B2%7D%7Bn%2B1%7D%5Cright%20%29%2B%5Cldots%20%2B%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%28n%2B1%29%21%7D%5Ccdot%20%5Cleft%20%281-%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%2B1%7D%5Cright%20%29%5Ccdot%20%5Cleft%20%281-%5Cfrac%20%7B2%7D%7Bn%2B1%7D%5Cright%20%29%5Ccdot%20%5Cldots%20%5Ccdot%20%5Cleft%20%281-%5Cfrac%7Bn%7D%7Bn%2B1%7D%5Cright%20%29%24%24)
И что? Я вижу, что с ростом
число слагаемых увеличивается. Но это не повод считать эту последовательность возрастающей. Что-то не соображу, как я могу оценить величину этих слагаемых.
И что? Я вижу, что с ростом
Последний раз редактировалось GEPIDIUM 27 ноя 2019, 17:52, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Школьная математика»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 6 гостей