Евклидово пространство vs евклидова геометрия

[ansm10]

Уважаемые математики,
Евклидово пространство (это где точки и векторы) совпадает с евклидовой геометрией (это где точки, прямые и плоскости). Зачем тогда последнюю описывать таким тяжелым набором аксиом?
Можно ли получить геометрию Лобачевского из евклидова пространства?

[12d3]

Source of the post Зачем тогда последнюю описывать таким тяжелым набором аксиом?

Векторное пространство ноже немаленьким набором аксиом задается, плюс до этого надо ввести множества, тоже со своей аксиоматикой. Так что, что тут проще вводится, это тот еще вопрос. Ну и к тому же евклидова геометрия куда менее универсальная штука, чем евклидовы пространства, потому как последние встречаются сплошь и рядом в разных областях.

Source of the post Можно ли получить геометрию Лобачевского из евклидова пространства?

Евклидово пространство получается из векторного заданием скалярного произведения с определнными свойствами. Ежели задать скалярное произведение с другими свойствами, то будут получаться разные неевклидовы пространства, вылезет и геометрия Лобачевского, и сферическая геометрия, и разные другие никому не нужные геометрии.  

[ARRY]

Source of the post Зачем тогда евклидову геометрию описывать таким тяжелым набором аксиом?

Не нравится обычная гильбертова аксиоматика - так есть аксиоматика Биркгофа, всего 4 аксиомы, и их вполне достаточно. Американские школьники второй половины XX века изучали геометрию именно по учебнику с этими 4-мя аксиомами. Сам видел такой учебник.
Правда, там есть одно но.... Одна из аксиом использует понятие движения, а 3 аксиомы из 4-х явно используют понятие числа. Этого ни у Евклида, ни у Гильберта не было.
Но, по крайней мере , очень простой и ясный набор аксиом, которых вполне хватает для построения евклидовой геометрии. И не надо даже упоминать евклидово пространство.

[ansm10]

Я говорю о точечно-векторном Евклидовом пространтве. Вы же говорите об Евклидовом пространстве, в котором нет понятия точки.
Вот в точечно-векторном Евклидовом пространстве через всякую точку проходит только одна плоскость параллельная данной. Как тут строить геометрию Лобаческого?!
Вот еще. Разве можно без понятия точки построить расширение геометрии Евклида с помощью вашего Евклидова пространства, в котором нет понятия точки?