Центр масс системы материальных точек.

Аватар пользователя
Anik
Сообщений: 3743
Зарегистрирован: 27 июн 2013, 21:00

Центр масс системы материальных точек.

Сообщение Anik » 04 дек 2015, 12:23

Пусть задано взаимное расположение $$n$$ материальных точек системы, $$n\geqslant 2$$. Проведём из какой-либо точки системы (например, $$m_1$$), радиус-векторы ко всем точкам системы, и рассмотрим их линейную комбинацию с коэффициентами, равными массам соответствующих точек. Условимся называть радиус-вектор материальной точки, умноженный на массу данной точки материализованным вектором точки, а точку, из которой проведён радиус-вектор, центром материализованного вектора. Таким образом, упомянутая линейная комбинация векторов представляет собой сумму материализованных векторов точек, проведённых из заданного центра. На Рис. этим центром является точка $$m_1$$.
При неизменном взаимном расположении материальных точек, с изменением центра материализованных векторов, их сумма изменяется. Существует такой единственный центр в системе материальных точек, что сумма материализованных векторов для этого центра равна нулю. Этот центр называется центром масс системы материальных точек, и обозначается буквой $$C$$
 
Изображение
Если сумму масс всех точек системы обозначить за $$M$$, то можно ввести такое определение:
Центром масс системы $$n$$ материальных точек Изображение называется геометрическая точка Изображение, для которой   $$\sum_{n}^{i=1}m_i\vec r_{ci}=0$$ , 
Мы докажем следующую теорему: сумма материализованных векторов, проведённых из любой точки системы, делённая на сумму масс всех точек системы даёт радиус-вектор, указывающий на центр масс системы материальных точек.
Последний раз редактировалось Anik 27 ноя 2019, 19:00, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
zykov
Сообщений: 1777
Зарегистрирован: 02 ноя 2009, 21:00

Центр масс системы материальных точек.

Сообщение zykov » 04 дек 2015, 15:05

Это будет теоремой только если дадите альтернативное определение центра масс. А так это определение.
PS: вместо того, чтобы марать форум, лучше бы книжки почитали...
Последний раз редактировалось zykov 27 ноя 2019, 19:00, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

12d3
Сообщений: 3347
Зарегистрирован: 02 янв 2009, 21:00

Центр масс системы материальных точек.

Сообщение 12d3 » 04 дек 2015, 15:53

Anik писал(а):Source of the post Центром масс системы  материальных точек  называется геометрическая точка , для которой
Такое определение плохо тем, что надо доказывать существование такой точки. Чем вам обычное определение не нравится?
Последний раз редактировалось 12d3 27 ноя 2019, 19:00, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
Anik
Сообщений: 3743
Зарегистрирован: 27 июн 2013, 21:00

Центр масс системы материальных точек.

Сообщение Anik » 05 дек 2015, 05:40

Изображение
$$m_1\vec r_{11}+m_2\vec r_{12}+..+m_n\vec r_{1n}=m_1(\vec r_{1c}+\vec r_{c1})+m_2(\vec r_{1c}+\vec r_{c2})+..+m_n(\vec r_{1c}+\vec r_{cn})=(m_1+m_2+...+m_n)\vec r_{1c}+m_1\vec r_{c1}+m_2\vec r_{c2}+...+m_n\vec r_{cn}$$
$$\sum_{n}^{i=1}m_i\vec r_{1i}=M\vec r_{1c}+\sum_{n}^{i=1}m_i\vec r{ci}$$
Учитывая, что последнее слагаемое по определеню центра масс равно нулю, имеем:
$$M^{-1}\sum_{n}^{i=1}m_i\vec r_{1i}=\vec r_{1c}$$
Что и требовалось доказать.
Т.е. сумма материализованных векторов, проведённых из произвольной точки системы к оставшимся точкам, делённая на массу всей системы, даёт вектор, указывающий на центр масс системы материальных точек.
 
Последний раз редактировалось Anik 27 ноя 2019, 19:00, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
Anik
Сообщений: 3743
Зарегистрирован: 27 июн 2013, 21:00

Центр масс системы материальных точек.

Сообщение Anik » 05 дек 2015, 05:48

12d3 писал(а):Source of the post Такое определение плохо тем, что надо доказывать существование такой точки. Чем вам обычное определение не нравится?
Обычное определение центра масс не указыват на замечательную особенность центра масс, а именно, на нулевое значение суммы материализованных векторов, проведённых из центра масс. Обычное определение центра масс просто определяет некоторую точку, а что это за точка, в чём её смысл, - непонятно.
Можно ещё доказать, что существует единственная точка в системе материальных точек, обладающая такой особенностью.
Последний раз редактировалось Anik 27 ноя 2019, 19:00, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
Anik
Сообщений: 3743
Зарегистрирован: 27 июн 2013, 21:00

Центр масс системы материальных точек.

Сообщение Anik » 05 дек 2015, 06:00

У меня в стартовом сообщении была ошибка, я её устранил.
Последний раз редактировалось Anik 27 ноя 2019, 19:00, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

individ.an
Сообщений: 760
Зарегистрирован: 07 фев 2015, 21:00

Центр масс системы материальных точек.

Сообщение individ.an » 05 дек 2015, 09:04

Вот дурдом!
Это, что выходит надо решать уравнения?
И какой в этом смысл? Не легче воспользоваться стандартным определением цетра массы системы и сразу получить ответ?
Последний раз редактировалось individ.an 27 ноя 2019, 19:00, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
Anik
Сообщений: 3743
Зарегистрирован: 27 июн 2013, 21:00

Центр масс системы материальных точек.

Сообщение Anik » 05 дек 2015, 10:13

individ.an писал(а):Source of the post Вот дурдом! Это, что выходит надо решать уравнения?
Никаких уравнений решать не надо. Центр масс находится по формуле : $$M^{-1}\sum_{n}^{i=1}m_i\vec r_{1i}=\vec r_{1c}$$
Здесь все векторы проведены из точки $$m_1$$ к остальным точкам  системы, но можно взять в качестве начальной любую точку системы, например $$m_3$$.
Тогда будет:
$$M^{-1}\sum_{n}^{i=1}m_i\vec r_{3i}=\vec r_{3c}$$
 
Последний раз редактировалось Anik 27 ноя 2019, 19:00, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
ALEX165
Сообщений: 10578
Зарегистрирован: 30 сен 2008, 21:00

Центр масс системы материальных точек.

Сообщение ALEX165 » 05 дек 2015, 13:13

Anik писал(а):Source of the post Обычное определение центра масс не указыват на замечательную особенность центра масс, а именно, на нулевое значение суммы материализованных векторов, проведённых из центра масс.

Это Вам не указывает, а для остальных:
Достаточно в $$\sum m_i \vec r_i=( \sum m_i)\vec R$$ положить $$\vec R=\vec 0$$
Последний раз редактировалось ALEX165 27 ноя 2019, 19:00, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
Anik
Сообщений: 3743
Зарегистрирован: 27 июн 2013, 21:00

Центр масс системы материальных точек.

Сообщение Anik » 05 дек 2015, 13:51

ALEX165 писал(а):Source of the post  
Anik писал(а):Source of the post

Обычное определение центра масс не указыват на замечательную особенность центра масс, а именно, на нулевое значение суммы материализованных векторов, проведённых из центра масс.
 
Это Вам не указывает, а для остальных:
Достаточно в $$\sum m_i \vec r_i=( \sum m_i)\vec R$$ положить $$\vec R=\vec 0$$

Достаточно в  $$\sum m_i \vec r_i=( \sum \vec r _i) M$$ положить $$M=0$$
Ну и что?
 
Последний раз редактировалось Anik 27 ноя 2019, 19:00, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test


Вернуться в «Физика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 13 гостей