Всевозможные произведения из трех сомножителей

GEPIDIUM · Сообщение **GEPIDIUM** » 05 ноя 2015, 17:29

Здравствуйте. Застопорилась я на ещё одной задаче по комбинаторике.
У нас есть число $$10^6$$

. Сколько существует различных вариантов представления этого числа в виде произведения трёх сомножителей при условии, что произведения с одинаковым набором сомножителей, но разным порядком их следования считаются различными. (Прошу прощения за корявый перевод с английского).
Я начала с канонического разложения числа $1.000.000=2^6\cdot 5^6$ . А как быть дальше? Понятно, что все 3 сомножителя каждого произведения состоят из этих 6 пятерок и 6 двоек. Но вот как вести подсчёт - не понимаю.

Swetlana · Сообщение **Swetlana** » 05 ноя 2015, 20:03

Может, так?
Имеем 12! различных перестановок из сомножителей. Сразу делим на 6!*6! - это перестановки двоек и пятёрок между собой. Затем полученное количество перестановок умножаем на число способов, которыми упорядоченное 12-элементное множество можно разбить на 3 непустых части. Вот формулу числа разбиений упорядоченного множества на части не знаю.

12d3 · Сообщение **12d3** » 05 ноя 2015, 20:16

Давайте сначала найдем, сколькими способами 6 двоек распихать на три сомножителя(порядок важен). Тут нужен метод шаров и перегородок. Знаете ли вы такой?

Swetlana · Сообщение **Swetlana** » 05 ноя 2015, 20:45

Нет, это число расстановок скобок в неассоциативном произведении. Но (пар) скобок должно быть только три.
Добавлено.
Точно, не скобки, а перегородки. 12d3, видимо, знает, как решать, подожду результата
Добавлено
Перегородки ставятся $\binom{11}{2}$ способами.
Не обращайте на меня внимания, я тут сама с собой разговариваю Все мы не без дефекта))

Swetlana · Сообщение **Swetlana** » 06 ноя 2015, 03:57

Никак. Сообщить как о неуместном

mersenne · Сообщение **mersenne** » 06 ноя 2015, 04:51

Как удалить свое сообщение?
>Сообщить как о неуместном
Чужие могу, а вот свое нет. Просьба, сообщить о этом и выше сообщении, как неуместных

Володиславир

Эту задачку понял так: Найти $q = \bigcup \left ( a_{i}*b_{i}*c_{i}=10^{6} \right )$ , где $a_{i}=b_{i}=c_{i}$ допускается.
??

Swetlana · Сообщение **Swetlana** » 07 ноя 2015, 07:20

(если сумели разложить число на простые множители $a=p_{1}^{m_1}*...*p_{k}^{m_k}, n=m_1+...+m_k$ .)
Число некоммутативных разложений $$a$$

на

сомножителей равно:
$\frac{n!}{m_1!*m_2!*...*m_k!}*\binom{n-1}{r-1}$ .
Например, $$100=2^25^2.$$

Вначале выписываем все различные перестановки:
(2 2 5 5); (5 5 2 2); (2 5 2 5); (5 2 5 2); (2 5 5 2); (5 2 2 5).
Затем в каждой перестановке всеми возможными способами расставляем $$r-1$$

перегородку среди $$n$$

чисел (на

местах).
Например, для 2 2 5 5: 2|2|55; 22|5|5; 2|25|5.

mersenne · Сообщение **mersenne** » 07 ноя 2015, 11:15

...и потом надо отсеять одинаковые.
6 перестановок делятся на 3 пары, из каждой пары получаются одинаковые сомножители.
Из 3й перестановки (2 5 2 5) получаем два одинаковых набора 25|2|5 и 2|5|25, а третий 2|52|5 повторяет 2|25|5 из первой перестановки
Как ни крути для 100 только такие сомножители 2*2*25, 2*5*10, 4*5*5

Swetlana · Сообщение **Swetlana** » 07 ноя 2015, 11:22

25|2|5 и 2|5|25 не одинаковые. 10*2*5 и 2*5*10.
Некоммутативные разложения, порядок сомножителей важен.

yourdomain.com