Интегральная функция распределения случайной величины

Александр Малошенко

Доброго времени суток!
Прошу помощи. В задаче задана интегральная функция распределения случайной величины. Требуется определить много чего, в том числе, вероятность попадания случайной величины Х на отрезок. Для этого требуется сначала определить плотность распределения, а потом уже брать определенный интеграл от плотности распределения или от первоначально- заданной функции?
Спасибо!

zam2 · Сообщение **zam2** » 04 ноя 2015, 13:13

Вероятноть попадания с.в. на отрезок равна просто разности значений функции распределения на концах отрезка.
Можно, конечно, получить плотность расппределения (дифференцировать), а потом ее интегрировать. Получится то же самое.

Александр Малошенко

Показываю, что получилось. Если не трудно, посмотрите пожалуйста.
Задана интегральная функция:
$F(x)=\left\{\begin{matrix} 0, x\leq 2\\ 2-\frac{2}{x+1}, 2< x\leq 3\\ 1, x> 3 \end{matrix}\right.$
определил вероятность:
$f(x)=\left\{\begin{matrix} 0, x\leq 2\\ \frac{2}{(x+1)^2}, 2< x\leq 3\\ 0, x> 3 \end{matrix}\right.$
Вероятность попадания [1;2,5]:
$P(1< x< 2,5)=\int_{1}^{2}0dx+\int_{2}^{2,5}\frac{2}{(x+1)^2}dx=\frac{2}{21}$
Правильно определил?

zam2 · Сообщение **zam2** » 04 ноя 2015, 14:37

Александр Малошенко писал(а):Source of the post Задана интегральная функция:

Такой функции распределения не бывает..Должно быть $0\leq F(x)\leqslant 1$ , а у вас $$F(3)=1.5$$

. Скорее всего опечатка, и нужно так: $F(x)=\left\{\begin{matrix} 0, x\leq 2\\ 2-\frac{2}{x-1}, 2< x\leq 3\\ 1, x> 3 \end{matrix}\right.$
Тогда
$f(x)=\left\{\begin{matrix} 0, x\leq 2\\ \frac{2}{(x-1)^2}, 2< x\leq 3\\ 0, x> 3 \end{matrix}\right.$
Вероятность попадания [1;2,5]:
$P(1< x< 2,5)=\int_{1}^{2}0dx+\int_{2}^{2,5}\frac{2}{(x-1)^2}dx=\frac{2}{3}$ .
Ну и, конечно, $P(1< x< 2,5)=F(2.5)-F(1)=\frac{2}{3}$ .

Александр Малошенко

К сожалению, это не очепятка) Это невнимательность...
Посмотрите пожалуйста, если не трудно:
Посчитал мат. ожидание:
$M(x)=\int_{-\infty }^{\infty }xf(x)dx=\int_{2}^{3}\frac{2x}{(x-1)^2}dx=2,386$
Дисперсию:
$D(x)=\int_{-\infty }^{\infty }x^2f(x)dx-M(x)^2=\int_{2}^{3}\frac{2x^2}{(x-1)^2}dx-(2,386)^2=0,08$
И среднее квадратическое отклонение:
$\delta =\sqrt{D(x)}=0,283$
И сразу в этой теме напишу. Не могу понять с чего начать при решении задачи:
"Год назад были предложены три экономические стратегии развития, правильность которых представлялась равновероятной. В течение этого года оказалось, что вероятность развития, какое экономика получила на самом деле, в соответствие с первой теорией равна 0,6, а в соответствии с двумя другими 0,4 и 0,2. Каким образом этот факт изменяет вероятности правильности трех теорий?"
Буду рад любой формуле или теме, к которой относится такая задачка. В интеренете ничего не нашел похожего(

zam2 · Сообщение **zam2** » 04 ноя 2015, 17:36

У меня выходит $M(x)=2.386;\; D(x)=0.07819;\; \sigma (x)=0.2796.$ В общем правильно.
Задача ваша, на мой взгляд, на применение формулы Байеса (вычисление апостериорной вероятности на основе априорной). Но я здесь не силен. Может кто еще подключится...

magnus-crank

Я бы подключился, только не умею
zam2, это же как раз задача на шулерский кубик.

zam2 · Сообщение **zam2** » 04 ноя 2015, 22:03

magnus-crank писал(а):Source of the post это же как раз задача на шулерский кубик.

Совершенно верно. Только публика не заинтересовалась. И про кубик я могу думать, а слова "экономические стратегии развития" меня вводят в ступпор.

magnus-crank

Если брать задачу по стратегии, то она учебная и теорема Баейса применяется в ее непосредственном виде, ибо условия под это подогнаны. С кубиком будет веселее.

magnus-crank

Применение теоремы Байеса в лоб дает ожидаемый результат, осмыслить бы его теперь.
$\newline P(A_{j}|B) = \frac{P(A_{j})P(B|A_{j})}{\sum_{i=1}^{N}P(A_{i})P(B|A_{i})} \newline \sum_{i=1}^{N}P(A_{i})P(B|A_{i})=\frac{1}{3}0.6+\frac{1}{3}0.4+\frac{1}{3}0.2=0.4 \newline P(A_{1}|B) = \frac{1}{3}0.6/0.4=\frac{1}{2} \newline\newline P(A_{2}|B) = \frac{1}{3} \newline\newline P(A_{3}|B) = \frac{1}{6}$

yourdomain.com