Давайте возьмём n = 24.
24 = 12 + 12 , число 12 содержит 7 комбинаций сумм (2, 3, 4). Т.е. нужно скомбинировать без повторений 7 с 7.
Каждую отдельную комбинацию для числа 12 пронумеруем с 1 до 7.
1: 2+2+2+2+2+2
2: 4+2+2+2+2
3: 4+4+2+2
4: 4+4+4
5: 3+3+3+3
6: 3+3+2+2+2
7: 3+3+4+2
Скомбинируем вручную между собой 7 комбинаций для первого числа 12 с 7-ю комбинациями для второго числа 12 :
{1,1} {1,2} {1,3} {1,4} {1,5} {1,6} {1,7}
{2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} {2,7}
{3,3} {3,4} {3,5} {3,6} {3,7}
{4,4} {4,5} {4,6} {4,7}
{5,5} {5,6} {5,7}
{6,6} {6,7}
{7,7}
Так {2,3} будет представлять сумму (4+2+2+2+2)+(4+4+2+2) = 24
Варианты такие как {3,2} отбрасываем, т.к. фактически это есть повторение.
Итак, для числа 24 имеем 28 комбинаций сумм чисел (2,3,4)
А для числа 36 будет 84 комбинации.
По сути комбинирования, в результате получаются фигурные числа порядка 3, т.е.
28 - это 7-е треугольное число
![$$S_{3}\left ( 7 \right )$$ $$S_{3}\left ( 7 \right )$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24S_%7B3%7D%5Cleft%20%28%207%20%5Cright%20%29%24%24)
84 - это 7-е тетраэдральное число
![$$S_{3}^{3}\left ( 7 \right )$$ $$S_{3}^{3}\left ( 7 \right )$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24S_%7B3%7D%5E%7B3%7D%5Cleft%20%28%207%20%5Cright%20%29%24%24)
Треугольные числа представляются формулой:
![$$S_{3}\left ( q \right ) = \binom{q+1}{2}$$ $$S_{3}\left ( q \right ) = \binom{q+1}{2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24S_%7B3%7D%5Cleft%20%28%20q%20%5Cright%20%29%20%3D%20%5Cbinom%7Bq%2B1%7D%7B2%7D%24%24)
Тетраэдральные числа ищутся по формуле:
![$$S_{3}^{3}\left ( q \right ) = \binom{q+2}{3}$$ $$S_{3}^{3}\left ( q \right ) = \binom{q+2}{3}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24S_%7B3%7D%5E%7B3%7D%5Cleft%20%28%20q%20%5Cright%20%29%20%3D%20%5Cbinom%7Bq%2B2%7D%7B3%7D%24%24)
В общем случае k-симплексное q-е число находится:
![$$S_{3}^{k}\left ( q \right ) = \binom{q-1+k}{k}$$ $$S_{3}^{k}\left ( q \right ) = \binom{q-1+k}{k}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24S_%7B3%7D%5E%7Bk%7D%5Cleft%20%28%20q%20%5Cright%20%29%20%3D%20%5Cbinom%7Bq-1%2Bk%7D%7Bk%7D%24%24)
Для задачи про лапы имеем:
![$$3S_{3}^{24}\left ( 7 \right )-3 = 3\binom{30}{24} - 3= 1781322$$ $$3S_{3}^{24}\left ( 7 \right )-3 = 3\binom{30}{24} - 3= 1781322$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%243S_%7B3%7D%5E%7B24%7D%5Cleft%20%28%207%20%5Cright%20%29-3%20%3D%203%5Cbinom%7B30%7D%7B24%7D%20-%203%3D%201781322%24%24)
комбинаций.