Способы расстановки чисел
-
- Сообщений: 6
- Зарегистрирован: 25 апр 2015, 21:00
Способы расстановки чисел
Здравствуйте, помогите решить: Сколькими способами можно расставить во всех клетках таблицы 4х4 числа 1 и 2 так, чтобы суммы чисел во всех строках и столбцах были просты?
Последний раз редактировалось Samorezishe 27 ноя 2019, 19:25, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Способы расстановки чисел
Даю небольшую подсказку: в каждой строке или столбце может быть либо 1 двойка и 3 единицы, либо 3 двойки и 1 единица. Исходите из этого.
Последний раз редактировалось ARRY 27 ноя 2019, 19:25, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Способы расстановки чисел
Ну что, подсказка не помогла? Ладно.
В Вашем квадрате
выделим, скажем, верхний левый квадрат
. Этот квадрат мы можем заполнить произвольно, а вот оставшиеся
клеток в свете сказанного в предыдущем посте заполняются строго единственным образом. Например, пусть выделенный квадрат
заполнен одними двойками. Тогда в большом квадрате
в трёх правых и трёх нижних клетках должны быть единицы, а в правой нижней угловой - двойка.
Из этого следует, что размещение чисел в малом квадрате однозначно определяет искомую расстановку в большом квадрате. А сколько возможно перестановок в квадрате
? У нас есть
мест, в каждое из которых мы можем вписать либо
, либо
(аналог двоичного представления). Значит всего перестановок ![$$2^9=512.$$ $$2^9=512.$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%242%5E9%3D512.%24%24)
А это и означает, что квадрат
можно заполнить единицами и двойками
способами.
Ну, как-то так.
В Вашем квадрате
Из этого следует, что размещение чисел в малом квадрате однозначно определяет искомую расстановку в большом квадрате. А сколько возможно перестановок в квадрате
А это и означает, что квадрат
Ну, как-то так.
Последний раз редактировалось ARRY 27 ноя 2019, 19:25, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
-
- Сообщений: 6
- Зарегистрирован: 25 апр 2015, 21:00
Способы расстановки чисел
Спасибо!
Последний раз редактировалось Samorezishe 27 ноя 2019, 19:25, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
- buratino.2016
- Сообщений: 273
- Зарегистрирован: 07 сен 2015, 21:00
Способы расстановки чисел
А уверены ли Вы, что все комбинации будут удовлетворять условию? Возможно, что не для каждого из 512 квадратов можно подобрать строку и столбец, удовлетворяющие условию или можно легко доказать, что для каждого?
Последний раз редактировалось buratino.2016 27 ноя 2019, 19:25, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Способы расстановки чисел
buratino.2016, а в чём Ваши сомнения? Конкретизируйте их. Что смогу, объясню. Доказательство перед Вами. По-моему, всё предельно ясно.buratino.2016 писал(а):Source of the post А уверены ли Вы, что все комбинации будут удовлетворять условию?
Последний раз редактировалось ARRY 27 ноя 2019, 19:25, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Способы расстановки чисел
Вот Вам 3 примера (из 512 возможных), как из произвольно заполненного квадрата
получается единственно возможная расстановка в квадрате
:
1.![$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}\Longrightarrow \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 &\!\!\vline\!\!& 2 \\ 1 & 1 & 1 &\!\!\vline\!\!& 2 \\ 1 & 1 & 1 &\!\!\vline\!\!& 2 \\\hline 2 & 2 & 2 &\!\!\vline\!\!& 1 \end{vmatrix}$$ $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}\Longrightarrow \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 &\!\!\vline\!\!& 2 \\ 1 & 1 & 1 &\!\!\vline\!\!& 2 \\ 1 & 1 & 1 &\!\!\vline\!\!& 2 \\\hline 2 & 2 & 2 &\!\!\vline\!\!& 1 \end{vmatrix}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%201%20%26%201%20%26%201%20%5C%5C%201%20%26%201%20%26%201%20%5C%5C%201%20%26%201%20%26%201%20%5Cend%7Bvmatrix%7D%5CLongrightarrow%20%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%201%20%26%201%20%26%201%20%26%5C%21%5C%21%5Cvline%5C%21%5C%21%26%202%20%5C%5C%201%20%26%201%20%26%201%20%26%5C%21%5C%21%5Cvline%5C%21%5C%21%26%202%20%5C%5C%201%20%26%201%20%26%201%20%26%5C%21%5C%21%5Cvline%5C%21%5C%21%26%202%20%5C%5C%5Chline%202%20%26%202%20%26%202%20%26%5C%21%5C%21%5Cvline%5C%21%5C%21%26%201%20%5Cend%7Bvmatrix%7D%24%24)
2.![$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} \Longrightarrow \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 &\!\!\vline\!\!& 1 \\ 2 & 1 & 1 &\!\!\vline\!\!& 1 \\ 2 & 2 & 2 &\!\!\vline\!\!& 1 \\\hline 2 & 2 & 1 &\!\!\vline\!\!& 2 \end{vmatrix}$$ $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} \Longrightarrow \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 &\!\!\vline\!\!& 1 \\ 2 & 1 & 1 &\!\!\vline\!\!& 1 \\ 2 & 2 & 2 &\!\!\vline\!\!& 1 \\\hline 2 & 2 & 1 &\!\!\vline\!\!& 2 \end{vmatrix}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%201%20%26%202%20%26%201%20%5C%5C%202%20%26%201%20%26%201%20%5C%5C%202%20%26%202%20%26%202%20%5Cend%7Bvmatrix%7D%20%5CLongrightarrow%20%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%201%20%26%202%20%26%201%20%26%5C%21%5C%21%5Cvline%5C%21%5C%21%26%201%20%5C%5C%202%20%26%201%20%26%201%20%26%5C%21%5C%21%5Cvline%5C%21%5C%21%26%201%20%5C%5C%202%20%26%202%20%26%202%20%26%5C%21%5C%21%5Cvline%5C%21%5C%21%26%201%20%5C%5C%5Chline%202%20%26%202%20%26%201%20%26%5C%21%5C%21%5Cvline%5C%21%5C%21%26%202%20%5Cend%7Bvmatrix%7D%24%24)
3.![$$\begin{vmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} \Longrightarrow \begin{vmatrix} 2 & 2 & 2 &\!\!\vline\!\!& 1 \\ 1 & 1 & 1 &\!\!\vline\!\!& 2 \\ 2 & 2 & 2 &\!\!\vline\!\!& 1 \\\hline 2 & 2 & 2 &\!\!\vline\!\!& 1 \end{vmatrix}$$ $$\begin{vmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} \Longrightarrow \begin{vmatrix} 2 & 2 & 2 &\!\!\vline\!\!& 1 \\ 1 & 1 & 1 &\!\!\vline\!\!& 2 \\ 2 & 2 & 2 &\!\!\vline\!\!& 1 \\\hline 2 & 2 & 2 &\!\!\vline\!\!& 1 \end{vmatrix}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%202%20%26%202%20%26%202%20%5C%5C%201%20%26%201%20%26%201%20%5C%5C%202%20%26%202%20%26%202%20%5Cend%7Bvmatrix%7D%20%5CLongrightarrow%20%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%202%20%26%202%20%26%202%20%26%5C%21%5C%21%5Cvline%5C%21%5C%21%26%201%20%5C%5C%201%20%26%201%20%26%201%20%26%5C%21%5C%21%5Cvline%5C%21%5C%21%26%202%20%5C%5C%202%20%26%202%20%26%202%20%26%5C%21%5C%21%5Cvline%5C%21%5C%21%26%201%20%5C%5C%5Chline%202%20%26%202%20%26%202%20%26%5C%21%5C%21%5Cvline%5C%21%5C%21%26%201%20%5Cend%7Bvmatrix%7D%24%24)
1.
2.
3.
Последний раз редактировалось ARRY 27 ноя 2019, 19:25, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Способы расстановки чисел
Попробую потелепатить. Возможно, товарищ имел в виду, что из квадрата 3х3 определяем три числа в нижней строке и три числа в правом столбце. А потом число в правом нижнем углу можно определить как из нижней строки, так и из правого столбца, и эти "определения" должны совпасть. Они конечно, совпадут, по соображениям четности, но в решении это явно не прописано.
Последний раз редактировалось 12d3 27 ноя 2019, 19:25, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
- buratino.2016
- Сообщений: 273
- Зарегистрирован: 07 сен 2015, 21:00
Способы расстановки чисел
Да, именно это я и хотел сказать, ведь это не очевидно и требует доказательства.
Последний раз редактировалось buratino.2016 27 ноя 2019, 19:25, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
- buratino.2016
- Сообщений: 273
- Зарегистрирован: 07 сен 2015, 21:00
Способы расстановки чисел
Не могли бы Вы привести эти "соображения четности"?
Последний раз редактировалось buratino.2016 27 ноя 2019, 19:25, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Другие разделы математики»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 5 гостей