Формулы для решения Диофантовых уравнений.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 10 июн 2015, 08:44

Эта система решалась там.
http://mathoverflow.net/questions/208891/is-it-possible-that-a-b-c-x-y-a-p-q-b-are-pythagorean-triples-simu/208905#208905 http://mathoverflow.net/questions/208891/i...u/208905#208905

Значит берём систему уравнений.
$\left\{\begin{aligned}&a^2+b^2=c^2\\&x^2+y^2=a^2\\&f^2+q^2=b^2\end{aligned}\right.$

Эту систему вернее её решения можно записать в таком виде.

$\left\{\begin{aligned}&a=2ps=z^2+t^2\\&b=p^2-s^2=j^2+v^2\\&c=p^2+s^2\\&x=2zt\\&y=z^2-t^2\\&f=2jv\\&q=j^2-v^2\end{aligned}\right.$

Чтоб легче формулу записать - сделаем такую замену.

$$B=k^2+2n^2-r^2$$

И теперь можно записать числа которые задают эти Пифагоровы тройки.

$$p=B^2+A^2$$

Можно делить на общий множитель на любом этапе вычислений.

ARRY · Сообщение **ARRY** » 17 июн 2015, 17:19

Shadows писал(а):Source of the post ARRY, неразрешимость этого уравнения в целых числах доказал сам Пьер Ферма, как частный случай его теоремы для 4-ой степени. Само доказательство - школькое упражнение на пифагоровые тройки.

Спасибо, Shadows, разобрался.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 20 июн 2015, 12:21

Ну там простенькую систему нарисовали.
http://math.stackexchange.com/questions/1332422/diophantine-equations/1332553#1332553 http://math.stackexchange.com/questions/13...1332553#1332553

$\left\{\begin{aligned}&X^2+Y^2+Z^2=T^2\\&A^2+B^2+C^2+D^2=T^2\end{aligned}\right.$

Сделаем такую замену.

$$p=r^2+n^2+q^2+j^2-i^2-v^2$$

И тогда решение будет таким.

$$X=2ps$$

individ.an · Сообщение **individ.an** » 18 июл 2015, 06:23

Типичный пример какого то сумашествия. Разумно это никак не обяснить.
На форуме МГУ меня забанили и доценты начали сами решать систему линейных диофантовых уравнений.
http://www.mathforum.ru/forum/read/1/82935/page/3/http://www.mathforum.ru/forum/read/1/82935/page/3/
Я научился решать системы нелинейных уравнений.
А эти идиоты с линейной возятся. Дурдом какой то!
Вообще даже не понятно какие там могут быть трудности.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 29 июл 2015, 12:48

Сегодня решали такую систему уравнений.

$\left\{\begin{aligned}&a^2-d^2=3(b^2-c^2)\\&e^2-b^2=3(d^2-c^2)\end{aligned}\right.$

Чтоб легче было найти одни решения - записал формулу так.

$$a=p+(5k-3t)s$$

individ.an · Сообщение **individ.an** » 05 авг 2015, 06:31

Для такого уравнения.

$x^2+ay^2=z^{k}$

Нужно было написать решения для любой степени.

$x=(p^2-as^2)(p^2+as^2)^{k-1}$

$y=2ps(p^2+as^2)^{k-1}$

$$z=(p^2+as^2)^2$$

Надо будет только после того как подставили числа разделить на общий делитель. Так чтоб со степенями не напутать.

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 05 авг 2015, 08:47

individ.an писал(а):Source of the post Для такого уравнения.

$x^2+ay^2=z^{k}$

Нужно было написать решения для любой степени.

$x=(p^2-as^2)(p^2+as^2)^{k-1}$

$y=2ps(p^2+as^2)^{k-1}$

Надо будет только после того как подставили числа разделить на общий делитель. Так чтоб со степенями не напутать.

Совсем тупой вопрос можно?
Как по этой схеме решать уравнение $$x^2+4y^2=z^5$$

? Решений нет?
$$x=4;y=2;z=2$$

Как получить это решение? Не понимаю...

individ.an · Сообщение **individ.an** » 10 авг 2015, 07:03

Andrew58 писал(а):Source of the post Совсем тупой вопрос можно?
Как по этой схеме решать уравнение ? Решений нет?

Как получить это решение? Не понимаю...

Понятия не имею - как их получить.
Меня попросили написать хоть какую нибудь формулу для такого уравнения. Я и написал.
http://math.stackexchange.com/questions/1383601/parametrization-of-x2ay2-zk-where-gcdx-y-z-1/1385015#1385015 http://math.stackexchange.com/questions/13...1385015#1385015
Это уравнение эквивалентно следующему. Формальный расчёт должен быть таким.

$$x^2+ay^2=z^5$$

После преобразований прийти к уравнению вида.

$$(k^2+at^2)(q^2+ab^2)(c^2+ad^2)=z^5$$

И затем решить систему уравнений.

$$z^2=q^2+ab^2=c^2+ad^2$$

И связать эти решения с решениями.

$$z=k^2+at^2$$

Можно ещё несколько коэффициентов добавить, но это дело вкуса. Формула громоздкая получается. И пока никому не нужная.

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 10 авг 2015, 07:23

individ.an писал(а):Source of the post Можно ещё несколько коэффициентов добавить, но это дело вкуса. Формула громоздкая получается. И пока никому не нужная.

Мне кажется или вы действительно предлагаете способ найти некоторое множество частных решений, а не все решения? Так сказать, в поле решений прогуляться по тропинке?

individ.an · Сообщение **individ.an** » 10 авг 2015, 07:45

Andrew58 писал(а):Source of the post
individ.an писал(а):Source of the post
Можно ещё несколько коэффициентов добавить, но это дело вкуса. Формула громоздкая получается. И пока никому не нужная.

Мне кажется или вы действительно предлагаете способ найти некоторое множество частных решений, а не все решения? Так сказать, в поле решений прогуляться по тропинке?

В Диофантовых уравнениях именно в этом сложность.
Формально можно написать бесконечно много решений. Когда чем то пренебрегаем, то выписываем конечно частные решения.
Некоторым зачем то надо показать, что есть бесконечно много решений. Вот для этого и выписываю простые формулы.

Если уж задаться искать все решения, то конечно придётся всё аккуратно решать.
И в данном случае пригоится эта формула.
http://mathoverflow.net/questions/181242/does-the-diophantine-equation-x2ay2u2bv2-p2cq2-admit-a-complete http://mathoverflow.net/questions/181242/d...dmit-a-complete

Часто передо мной не стоит задача выписать все решения.
Мне надо показать, что данный метод расчёта позволяет решить и это уравнение.

yourdomain.com