Сходимость степенного ряда

Александр Малошенко

Здравствуйте, уважаемые форумчане!
Возник вопрос по одному, на мой взгляд, интересному ряду. Прошу помощи...
$a_{n}=\frac{2^n\cdot x^n}{3^n+7^n} \\ \lim_{n \to \infty }\left |\frac{a_{n+1}}{a_n} \right |=\lim_{n \to \infty }\left |\frac{2^{n+1}\cdot x^{n+1}\cdot(3^n+7^n)}{2^{n}\cdot x^{n}\cdot(3^{n+1}+7^{n+1})} \right |= \lim_{n \to \infty }\left |\frac{2 \cdot x \cdot ((\frac{3}{7})^n+1)}{(3(\frac{3}{7})^n+7)} \right |= \lim_{n \to \infty }\left |\frac{2 \cdot x \cdot (0+1)}{(0+7)} \right |=\left | x \right |\cdot \frac{2}{7}\\ -\frac{7}{2}< x< \frac{7}{2}\\$
Далее при подстановке получаем интересный ряд.
$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-\frac{7}{2})^n\cdot 2^n}{3^n+7^n}= \sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n\cdot 7^n}{3^n+7^n}$
Очевидно, что ряд- знакочередующийся. Но как его решать... И правильно ли определен интервал сходимости?

Ian · Сообщение **Ian** » 25 май 2015, 21:22

Последний ряд, где х=-7/2 -модуль общего члена стремится к 1, не выполнен необходимый признак сходимости, и уже не важно , знакочередующийся ли он

Александр Малошенко

Спасибо, Ian! Выносим в знаменателе семь в степени n, сокращаем на нее и видим, что модуль стремится к 1. Аналогично подставляем правую границу- тоже расходится. В ответе будет строгое неравенство, правильно я рассуждаю?

Ian · Сообщение **Ian** » 27 май 2015, 02:20

Правильно)

yourdomain.com