Оценка угловой скорости вращения тела при торможении расположенного на нем маховика

r.aristov · Сообщение **r.aristov** » 27 апр 2015, 12:16

Добрый день. Передо мной стоит определенная практическая задача, хотелось бы сначала прикинуть величины, но что-то я, похоже, позабыл физику. Буду благодарен, если мне кто-нибудь объяснит, как подобные вещи вычислять.
Суть следующая: имеем некоторое тело (корпус), допустим, тонкостенную сферу (в, принципе, не так важно), внутри которой расположен мотор с маховиком. Мотор мы медленно раскручиваем до достижения маховиком скорости w0. После маховик резко тормозим, либо механически (вставляя стопор, об который маховик ударится выступом), либо (более интересный вариант), замыкая мотор на тормозной резистор. После этого, очевидно, корпус сам приобретет некоторую угловую скорость w'. Вот это все хотелось бы описать математически.
Для начала, я хотел рассмотреть упрощенный случай, когда корпус жестко закреплен и тормозим замыканием на резистор. Трением пренебрегаем. Тогда получается, что вся накопленная маховиком энергия переходит в тепловую на резисторе. Я попытался вывести для этого случая уравнение w(t), но либо ошибся, либо просто не знаю, как довести доконца, укажите, пожалуйста на ошибку (т.к. не получилось с упрощенным случаем, до исходной задачи, с незакрепленным корпусом и энергией маховика уходящей как в тепловую (на резисторе), так и в раскрутку корпуса до тех пор, пока он и маховик не приобретут равные скорости w', я так и не добрался):
1) В начальный момент времени маховик раскручен до скорости w0 и имеет энергию $E_{0} = \frac{J_{flywheel}\cdot \omega _{0}^{2}}{2}$ (0)
2) Если бы мощность, рассеиваемая на резисторе, была постоянной (P), то уравнения w(t) выглядело как $\omega (t) = \sqrt{\frac{2E_{0}-2Pt}{J}}$ (1)
Но мощность зависит от напряжения на резисторе, а напряжение зависит от угловой скорости маховика. Чтобы не тащить лишние константы, примем, что на клеммах мотора мы имеем (после сглаживания и фильтрации) напряжение $U(t) = k \omega (t)$ (2) (надеюсь, тут я не ошибся?)
Тогда мощность зависит от времени как $P(t) =\frac{ k^{2}}{R}\omega^{2} (t) = k' \omega^{2} (t)$ (3) Опять-таки, k пока не столь важно, оставим k вместо k' чтобы не тащить лишнего.
3) Т.к. мощность меняется, рассмотрим бесконечно малый промежуток времени dt, в течение которого мощность будем считать постоянной, вычисляемой по (3). Тогда возводим в квадрат (1), подставляем туда выражение из (3):
$\mathrm{d} \omega ^{2} = \frac{2E_{0}}{J}-\frac{2k}{J}\omega ^{2}\mathrm{d} t$ (4)
4) Интегрируем, получая $2\omega (t) = -\frac{2k}{3J}\omega ^{3}(t)+c$ (5)

Ну, как бы, на этом все, на большее меня не хватило. Подскажите, пожалуйста, как правильно вычислить в данном случае w(t), и как вычислить wкорпуса(t), wмаховика(t) в случае, если корпус не закреплен.
Большое спасибо.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 27 апр 2015, 13:09

Вспомните про закон сохранения момента количества движения (момента импульса) и Ваши проблемы быстро разрешатся.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 27 апр 2015, 13:25

r.aristov писал(а):Source of the post Я честно вспоминал все известные мне законы, связанные с вращательным движением, но до уравнений w(t) я так и не добрался. Не могли бы вы подробнее показать, как все-таки выводятся эти уравнения, хотя бы для первого случая (когда корпус закреплен)? Где я ошибся в выкладках?

Когда корпус не закреплён и Вы останавливаете ротор внутри, понятно что Вам нужно - определить угловую скорость всего этого вместе взятого после останова ротора.
А когда корпус закреплён - что нужно?

r.aristov · Сообщение **r.aristov** » 27 апр 2015, 13:27

Я честно вспоминал все известные мне законы, связанные с вращательным движением, но до уравнений w(t) я так и не добрался. Не могли бы вы подробнее показать, как все-таки выводятся эти уравнения, хотя бы для первого случая (когда корпус закреплен)? Где я ошибся в выкладках?
Из закона сохранения момента импульса, как я понимаю, следует, что когда мы начинаем отбирать энергию у маховика, переводя ее в тепловую на резисторе, корпус начнет раскручиваться, так, что суммарный момент импульса в системе останется равным начальному моменту импульса (Jмаховика*w0).
Это в случае незакрепленного корпуса. И закончится это все, когда и корпус и маховик будут иметь одинаковые скорости w' (тогда ЭДС станет равной 0 и резистор перестанет обирать энергию маховика).
В случае закрепленного корпуса, понятное дело, маховик израсходует всю энергию.

r.aristov · Сообщение **r.aristov** » 27 апр 2015, 14:00

И в первом и во втором случае хотел взглянуть на зависимость угловой скорости от времени.
В первом случае - обеих угловых скоростей (маховика и корпуса), во втором - только маховика.
Второй случай особой практ. ценности для меня не несет, но для общего образования хотелось бы вывести, соответственно, я и начал выводить (выше изложил, как именно), но не знаю как до конца довести и правильно ли я вообще начал.
P.S.
Да, еще важный момент, хотел именно w(t) получить, чтобы оценить еще выделяющуюся на резисторе мощность и угловые ускорения (а с ними и моменты) действующие на корпус, а не просто получить сразу итоговую скорость. Скорость-то, если я не ошибаюсь, вычисляется как $\omega '=\frac{J_{fw}\cdot \omega _{0}}{J_{fw}+J_{sph}}$ и от резистора не зависит. От резистора зависит как раз то, как она меняется.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 27 апр 2015, 14:10

Если для простоты считать, что корпус всего этого симметричен относительно оси вращения ротора, то если:
$\omega_1$ - угловая скорость ротора относительно неподвижного наблюдателя,
$\omega_2$ - угловая скорость корпуса относительно неподвижного наблюдателя,
$$J_1$$

- момент инерции ротора относительно оси вращения ротора,
$$J_2$$

- момент корпуса (за исключением ротора) относительно оси вращения ротора,
то:
$J_1 \omega_1+J_2 \omega_2=const$
К этому уравнению следует добавить закон торможения ротора в том или ином виде.

r.aristov · Сообщение **r.aristov** » 27 апр 2015, 14:18

Закон сохранения момента импульса я помню, но проблема-то в том, что у меня не получилось адекватно вывести закон торможения ротора.
В первом сообщении я изложил то, как пытался его вывести хотя бы для случая с закрепленным корпусом - собственно, я поэтому и решил сначала попробовать вывести w(t) для закрепленного корпуса, чтобы не связываться с ЗС.МИ.
Вы не могли бы посмотреть на выкладки в моем первом сообщении? Я вообще на правильном пути был?
Мощность, отбираемая резистором у маховика зависит от его квадрата угловой скорости, если я не ошибаюсь. А в случае с незакрепленным корпусом - от квадрата разницы угловых скоростей корпуса и маховика (от этой величины зависит ЭДС, приложенная к резистору). А угловая скорость маховика, соответственно, зависит от этой самой мощности...

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 27 апр 2015, 14:26

Выкладки Ваши весьма сумбурны и разбираться в них лень. Видно только что Вам ещё надо задаться характеристикой двигателя и опять же законом торможения, который может быть каким угодно.
Поточнее сформулируйте задачу, потом - решать.

r.aristov · Сообщение **r.aristov** » 27 апр 2015, 14:38

Каким образом закон торможения может быть "каким угодно", если трение отсутствует, и единственное, что отбирает энергию маховика - тормозной резистор известного номинала?
Хорошо, остановимся на варианте с закрепленным корпусом для начала. Имеется идеальный двигатель постоянного тока, жестко закрепленный на поверхности. Он раскручивает маховик с моментом инерции J до начальной скорости w0 и отключается от питания. После того, как все переходные процессы прошли, его клеммы замыкают на резистор R.
Как вывести закон изменения угловой скорости маховика от времени, w(t)?

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 27 апр 2015, 14:47

r.aristov писал(а):Source of the post Каким образом закон торможения может быть "каким угодно", если трение отсутствует, и единственное, что отбирает энергию маховика - тормозной резистор известного номинала?

Этого недостаточно для определения закона изменения угловой скорости - в зависимости от типа двигателя и способа подключения к нему резистора закон может быть разным.

Хорошо, остановимся на варианте с закрепленным корпусом для начала. Имеется идеальный двигатель постоянного тока, жестко закрепленный на поверхности. Он раскручивает маховик с моментом инерции J до начальной скорости w0 и отключается от питания. После того, как все переходные процессы прошли, его клеммы замыкают на резистор R.
Как вывести закон изменения угловой скорости маховика от времени, w(t)?

И этого недостаточно - для ДПТ нужно ещё знать - с параллельным или последовательным он возбуждением.

yourdomain.com