Найти координаты центра масс однородной кривой в полярных координатах

Evaf · Сообщение **Evaf** » 15 апр 2015, 18:41

Найти координаты центра масс однородной кривой, заданной уравнением $\rho =e^\varphi \varphi \in [0,2\pi ]$
Массу кривой я нашла, а вот как найти моменты инерции в полярных координатах я не знаю, подскажите, пожалуйста формулы

12d3 · Сообщение **12d3** » 16 апр 2015, 08:21

Общая формула для центра масс $\textbf{r}_c = \frac{\int \textbf{r}dm}{\int dm}$ . Как ни крути, для расчета центра масс нужно переходить к декартовым координатам. Поэтому план такой:
1) запишем уравнение кривой в декартовых координатах в параметрическом виде. Проще всего так: $\left\{\begin{matrix} x = e^\varphi \cos \varphi \\ y = e^\varphi \sin \varphi \end{matrix}\right.$
2) Найдем интеграл в знаменателе, который просто масса. Раз вы его нашли, то просто сравните с тем что у меня вышло.
Пусть $\sigma$ - линейная плотность кривой.
$M = \int dm = \int \sigma dl = \int \sigma \sqrt{dx^2+dy^2} = \int \sigma \sqrt{\left (\frac{dx}{d\varphi} \right )^2+\left (\frac{dy}{d\varphi} \right )^2}d\varphi = \int_{0}^{2\pi} \sigma \sqrt{\left ( e^\varphi \cos \varphi - e^\varphi \sin \varphi\right )^2 + \left ( e^\varphi \sin \varphi + e^\varphi \cos \varphi\right )^2}d\varphi = \int_{0}^{2\pi} \sigma e^\varphi \sqrt2 d\varphi = \sqrt2 \sigma \left ( e^{2\pi} -1\right )$
3) Теперь будем искать верхний интеграл. Поскольку он является вектором, найдем его компоненты, которые равны соответственно $\int x dm$ и $\int y dm$ .
$\int x dm = \int \sigma x dl = \int \sigma x \sqrt{dx^2+dy^2} = \int \sigma x \sqrt{\left (\frac{dx}{d\varphi} \right )^2+\left (\frac{dy}{d\varphi} \right )^2}d\varphi = \int_{0}^{2\pi} \sigma e^\varphi \cos \varphi \sqrt{\left ( e^\varphi \cos \varphi - e^\varphi \sin \varphi\right )^2 + \left ( e^\varphi \sin \varphi + e^\varphi \cos \varphi\right )^2}d\varphi = \int_{0}^{2\pi} \sigma e^{2\varphi} \cos \varphi \sqrt2 d\varphi$
До конца интеграл досчитайте сами. Второй интеграл, который $\int y dm$ , считается абсолютно аналогично.
4) Ну и наконец, координаты центра масс $x_c = \frac{\int x dm}{M}$ , $y_c = \frac{\int y dm}{M}$

Evaf · Сообщение **Evaf** » 17 апр 2015, 07:13

Спасибо. Поскольку кривая однородная , значит можно считать , что ее плотность =1
Массу правда считала по формуле $m= \int_{\alpha }^{\beta } \sqrt{(\rho (\varphi ))^2+(\frac{\partial (\rho (\varphi )) }{\partial \varphi })^2}d\varphi$

Evaf · Сообщение **Evaf** » 17 апр 2015, 07:17

и мне кажется там ошибка у Вас в коодинатах центра масс. Где х должен быть у и наоборот

Ian · Сообщение **Ian** » 17 апр 2015, 16:10

Ошибки у 12d3 как раз нет. Просто $\int xdm$ еще называют "1м моментом относительно оси у" и обозначают соответственно, и это многих сбивает

Evaf · Сообщение **Evaf** » 18 май 2015, 09:46

Спасибо всем за помощь

yourdomain.com