Вообразим бесконечную вселенную, заполненную водой. Как будут взаимодействовать друг с другом различные тела в этой вселенной? Вроде бы, ответ очевиден: они будут притягиваться, подчиняясь закону всемирного тяготения. Но... не стоит торопиться с выводами. Давайте разберем несколько частных случаев.
Для начала исследуем взаимодействие двух свинцовых дробинок. Сразу стоит оговориться, что термин «взаимодействие» здесь не очень подходит, так как на дробинки действуют не только силы взаимного гравитационного притяжения, но и гравитация вселенной, и силы упругости водной среды. В первую очередь, постараемся учесть все силы, имеющие гравитационную природу.
Учет гравитационного взаимодействия. Рассмотрим силы, действующие на дробинку 1 (рис.1). Проведем через ее центр плоскость, перпендикулярную линии, соединяющей обе дробинки. Она разделит вселенную на две полувселенные. Для удобства назовем их левой и правой. Эти две полувселенные симметричны относительно разделяющей их плоскости, но в правой есть дополнительная дробинка 2. Симметричные части полувселенных действуют на дробинку 1 с совершенно равными силами притяжения. Результирующая сила является итогом действия двух различающихся сферических элементов. В правой части это дробинка, а в левой - вода в объеме дробинки. Так как масса дробинки больше массы соответствующего элемента воды, то полная сила \(\vec F_1 ,\) действующая на дробинку 1 , будет направлена вправо, но окажется меньше силы гравитационного притяжения к дробинке 2. Рассчитаем эту силу:
\(~F_1 = F_{dr}-F_{vodi} = G\frac{ m_{dr} m_{dr} }{r^2} - G\frac{ m_{dr} m_{vodi} }{r^2} = G\frac{ m_{dr} }{r^2} (m_{dr} m_{vodi}) = G\frac{ m_{dr}^2 }{r^2} \left( 1 - \frac{ \rho_{vodi} }{\rho_{dr}} \right),\)
где r - расстояние между дробинками.
Рис. 1Легко показать, что эта формула в случае разных по массе дробинок преобразуется к виду
\(~F_1 = G\frac{m_1m_2}{r^2}\left(1 - \frac{ \rho_{vodi} }{ \rho_{dr} } \right),\)
а в случае взаимодействия частиц любого вещества в любой бесконечной среде принимает вид
\(~F_1 = G\frac{m_1m_2}{r^2}\left(1 - \frac{ \rho_{sredy} }{ \rho_{veschestva} } \right),\)
Выражение, стоящее до скобок, полностью совпадает с законом всемирного тяготения, и если плотность среды положить равной нулю, то мы получаем стандартную формулировку закона. (Что и должно произойти, поскольку в этом случае формула описывает гравитационное взаимодействие тел в вакууме.)
Если плотность среды постепенно увеличивать, то сила взаимного притяжения будет уменьшаться, пока не обратится в ноль при равенстве плотностей среды и вещества. Если же плотность среды будет больше плотности помещенных в нее элементов вещества, то сила станет отрицательной, что соответствует отталкиванию этих элементов. Так, два деревянных шарика в водной вселенной будут отталкиваться с силой
\(~F_1 = G\frac{m_1m_2}{r^2} \left| 1 - \frac{ \rho_{vodi} }{ \rho_{dereva} } \right| ,\)
Таким образом, тяготение способно породить отталкивание!
Этот эффект взаимного отталкивания можно пояснить, вводя в рассмотрение «поля», порождаемые внесением в бесконечную однородную среду элементов вещества с иной плотностью. Появление более плотного вещества приводит к созданию «поля» тяготения. Причем тяготение создается только за счет «избыточной» плотности в объеме вещества. Если же плотность вещества меньше плотности среды, то возникает «поле» отталкивания. Особенность этих «полей» в том, что они проявляют свои свойства вне зависимости от того, на какое вещество (с плотностью большей или меньшей плотности среды) они действуют. Напряженность такого «поля» можно рассчитать по формуле (речь идет о центральном поле)
\(~E = G\frac{m_{veschestva}}{r^2} \left| 1 - \frac{ \rho_{sredy} }{ \rho_{veschestva} } \right|.\)
Теперь попробуем исследовать более сложный случай. До сих пор мы рассматривали элементы вещества, имеющие одну и ту же плотность. А как будут взаимодействовать тела с различными плотностями? Для определенности выберем деревянный шарик и свинцовую дробинку и воспользуемся понятиями «полей» отталкивания и тяготения. Дробинка, имея избыточную плотность, создает «поле» тяготения и поэтому будет притягивать деревянный шарик (рис.2). А этот шарик, обладая недостаточной плотностью, создает «поле» отталкивания и потому будет отталкивать свинцовую дробинку. Таким образом, силы, действующие на дробинку и шарик, будут направлены в одну сторону. Можно показать, что в этом случае модуль каждой силы, при соответствующей замене индексов 1 (для дробинки) и 2 (для шарика), рассчитывается по формуле
\(~F_{12} = G\frac{m_1m_2}{r^2} \left| 1 - \frac{ \rho_{sredy} }{ \rho_{veschestva} } \right|.\)
Рис. 2Но нарушение третьего закона Ньютона (силы не только не направлены навстречу друг другу, но, в общем случае, и не равны по модулю), как и закона всемирного тяготения, только кажущееся. Дело в том, что силы, описываемые последней формулой, не являются силамивзаимодействия. Наряду с гравитационным взаимодействием тел эта формула учитывает гравитационное влияние вселенной, порожденное ее асимметрией по отношению к каждому из тел. И различие в силах «взаимодействия» порождается именно различным влиянием вселенной на находящиеся в ней элементы.
Подводя промежуточный итог, можно заметить, что учет всех сил, имеющих гравитационную природу, показывает, что закон всемирного тяготения вызывает не только притяжение тел. Но необходимо помнить, что мы пока не принимали во внимание наличие сил упругости водной среды. Этим и займемся.
Учет архимедовой силы. Кажется вполне очевидным, что в однородной водной вселенной давление во всех точках одинаково. Архимедова сила возникает только тогда, когда появляется неоднородное включение. Рассчитаем эту силу для случая, когда она вызывается появлением свинцовой дробинки.
Рассмотрим произвольно выбранный элемент воды (рис.3). Он находится в состоянии покоя, а значит, сила, действующая со стороны «поля» тяготения дробинки, полностью компенсируется архимедовой силой. Найдем эту силу:
\(~F_A = F_{pr} = m_{el-ta'vodi}E_{polya} = \rho_{vodi}V_{el-ta'vodi}E_{polya}.\)
Рис. 3Очевидно, что эта формула, так напоминающая классический школьный вариант \(~F_A = \rho V g ,\) может использоваться и для «поля» отталкивания (в этом случае она также будет направлена против «поля»).
А теперь можно попробовать учесть все силы. Вернемся к случаю двух свинцовых дробинок. Полная сила \( \vec F_1 ,\) действующая на первую дробинку, равна векторной сумме силы, вызванной «полем» второй дробинки, и архимедовой силы (рис.4):
\(~F_1 = F_{polya2} - F_A = m_1 E_{polya2} - \rho_{vody} V_1 E_{polya2} = \left( 1 - \frac{ \rho_{vody} }{ \rho_{dr} } \right) m_1 E_{polya2} = \left( 1 - \frac{ \rho_{vody} }{ \rho_{dr} } \right) m_1 G \frac{m_2}{r^2} \left( 1 - \frac{ \rho_{vody} }{ \rho_{dr} } \right) = G \frac{m_1m_2}{r^2} \left( 1 - \frac{ \rho_{vody} }{ \rho_{dr} } \right)^2.\)
Рис. 4Полная симметрия этой формулы относительно индексов показывает, что полная сила, действующая на вторую дробинку, будет по величине такой же\[~F_2 = F_1.\] Наличие квадрата выражения в скобках в этой формуле тоже не случайно. Если плотность среды оказывается больше плотности вещества, то знак силы не меняется. А значит, два деревянных шарика в водной вселенной тоже будут притягиваться. И тогда последнюю формулу можно переписать в более общем виде:
\(~~F = G\frac{m_1m_2}{r^2} \left( 1 - \frac{ \rho_{sredy} }{ \rho_{veschestva} } \right)^2.\)
Однако и эту формулу нельзя использовать для расчета сил, действующих на тела с различными плотностями. Вернемся к ситуации с деревянным шариком и свинцовой дробинкой. Найдем силу, действующую на свинцовую дробинку. Деревянный шарик создает силу отталкивания, но в противоположную сторону действует архимедова сила (рис.5). Полную силу \(\vec F_{dr}\) найдем как векторную сумму соответствующих сил:
\(~F_{dr}=F_A - F_{ottalk} = \rho_{vodi}V_{dr}E_{ottalk} - m_{dr}E_{ottalk} = \left( \frac{ \rho_{vodi} }{ \rho_{dr} } -1 \right)m_{dr}E_{ottalk} = \left( \frac{ \rho_{vodi} }{ \rho_{dr} }-1 \right)m_{dr}G \frac{m_{dereva}}{r^2}\left( 1 - \frac{ \rho_{vodi} }{ \rho_{dereva} } \right) = G\frac{m_{dereva}m_{dr}}{r^2}\left( \frac{ \rho_{vodi} }{ \rho_{dr} } -1 \right) \left( 1 - \frac{ \rho_{vodi} }{ \rho_{dereva} } \right).\)
Мы видим, что \(~F_{dr}
Итак, общая формула, описывающая «взаимодействие» двух тел в бесконечной жидкой среде, имеет следующий вид:
\(~F = G\frac{m_1m_2}{r^2}\left( \frac{ \rho_{vesch1} - \rho_{sredy} }{ \rho_{vesch1} } \right) \left( \frac{ \rho_{vesch2} - \rho_{sredy} }{ \rho_{vesch2} } \right).\)
Очевидно, что в частном случае, когда плотности тел одинаковы, вне зависимости от их соотношения с плотностью среды эти тела будут притягиваться друг к другу \(~(F > 0).\) Притяжение будет наблюдаться и в том случае, когда плотности не равны, но обе либо больше, либо меньше плотности среды. Тогда выражения в скобках в последней формуле будут одного знака, и сила будет положительной. Отталкивание тел возможно лишь тогда, когда плотность одного тела больше плотности среды, а плотность другого - меньше. В этом случае сила меняет знак на отрицательный, что говорит об отталкивании тел. Если же плотность одного из тел совпадает с плотностью среды, то сила обращается в ноль.