Формулы для решения Диофантовых уравнений.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 17 фев 2015, 05:44

Похожее уравнение на Пифагорову тройку.

$$X^2+XY+Y^2=Z^2+q$$

Если число задаётся условием задачи и можно например представить как разницу квадратов: $$q=(a-b)(a+b)$$

Решения можно записать если воспользоваться решениями уравнения Пелля. $$p^2-ns^2=1$$

Коэффициент выглядит так: $$n=3k^2-6kt+t^2$$

числа которые мы задаём. Тогда решения можно записать.

$$X=2(2at-bk)ps+(3ak^2-2(3b+2a)kt+8bt^2)s^2$$

И ещё.

$X=\frac{2b-3a}{2}p^2-((3a-4b)k+(6b-5a)t)ps$ $+\frac{1}{2}((18b-3a)t^2+2(5a-12b)kt+3(2b-a)k^2)s^2$

$Y=\frac{2b-a}{2}p^2-((3a-4b)k+(2b+a)t)ps+$ $\frac{1}{2}(-(6b+a)t^2+10akt+3(2b-3a)k^2)s^2$

$Z=\frac{4b-3a}{2}p^2-(6(a-b)k+(6b-5a)t)ps+$ $\frac{1}{2}((16b-3a)t^2+12(a-2b)kt+3(4b-3a)k^2)s^2$

individ.an · Сообщение **individ.an** » 17 фев 2015, 06:03

$\frac{(x+y)(x+y-1)}{2}=ax+by$

$x=\frac{(a+b+1)(3b-a+1)+2(b-a)k-k^2}{8(b-a)}$

$y=\frac{(a+b+1)(b-3a-1)+2(b-a)k+k^2}{8(b-a)}$

Чтоб решить похожее уравнение на Пифагорову тройку. $$X^2+Y^2=Z^n$$

Можно воспользоваться Пифагоровой тройкой.
$$a^2+b^2=c^2$$

Призаданом уравнении надо потом разделить на общий делитель. Чтоб получить взаимно простые решения.

$X=2psc^{n-1}$

$Y=(p^2-s^2)c^{n-1}$

$$Z=c^2$$

И другое.

И ещё.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 17 фев 2015, 06:10

Решения можно записать.

$$X=p^2+2(t+k)ps-(t^2-2tk+k^2)s^2$$

Если система будет.

$\left\{\begin{aligned}&X+Y+Z+R=0\\&2X^2+2Y^2=Z^2+R^2\end{aligned}\right.$

$$X=p^2+2ps-2s^2$$

omega · Сообщение **omega** » 17 фев 2015, 06:19

individ.an писал(а):Source of the post Это система довольно древняя. Её часто называют задачей Герона. Смысл в том найти такие прямоугольные треугольники в которых периметр одинаков, а площади отличаются в заданное число раз.

У вас постановка задачи неправильная, о чём вам ясно сказали на том форуме, на который вы дали ссылку:

If it is triangles, then the perimeter includes not only the two "legs" x,y from which area is computed (twice area is then xy), but the perimeter also includes the hypotenuse, which by Pythagoras theorem is x 2 +y 2 ? ? ? ? ? ? v . Therefore your setup for the problem for triangles is not correct, since you only use x+y for the perimeter equation.

В первом уравнении не есть периметр прямоугольного треугольника, так как периметр прямоугольного треугольника не равен сумме его катетов.
Где вы нашли такую "задачу Герона"? Ссылку дайте, пожалуйста. И с решением Кантора желательно.
Прежде чем рисовать решения, надо правильно поставить задачу, которую вы собираетесь решать.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 17 фев 2015, 06:26

Это уравнение меня один финн попросил решить.
Они там изучали рассеяние одних частиц над другими. Точно формулировки задачи не знаю - мне надо было решить уравнение вот такое.

$$q^2=(z^2+d^2-x^2-y^2)^2-4(d^2-x^2)(d^2-y^2)$$

Решения получились такие.

$$x=(p-s)sa^2+(p^2-ps+s^2)t^2-psk^2$$

12d3 · Сообщение **12d3** » 17 фев 2015, 06:27

individ.an писал(а):Source of the post Забавно, но Кантор нашёл одну формулу, я нашёл 3. И у меня они описывают все решения!

Можно вопрос? Вот вы приводите формулы, описывающие некоторые серии решений и говорите, что этими формулами описываются все решения. Но доказательства этого факта не приводите. А почему?

individ.an · Сообщение **individ.an** » 17 фев 2015, 06:33

omega писал(а):Source of the post У вас постановка задачи неправильная, о чём вам ясно сказали на том форуме, на который вы дали ссылку:

С условием я напутал когда набирал её. Эта задача из книжки Диофанта.
Начал решать систему и перепутал.
Что же касаемо Кантара, так в той теме он даёт ответ где искать надо. В какой книге.

omega · Сообщение **omega** » 17 фев 2015, 06:44

individ.an писал(а):Source of the post С условием я напутал когда набирал её. Эта задача из книжки Диофанта.

Тогда давайте всё сначала и правильно.
Вы дали ссылку на форум, где сформулировали ту же самую задачу, и вам там сказали, что вы её неправильно сформулировали.
Здесь вы повторяете ту же самую неправильную формулировку.
Что за "задача Герона", которую вы решили тут, представив три решения вместо одного, найденного Кантором?
И какое было решение Кантора? И главное - какой задачи?

individ.an · Сообщение **individ.an** » 17 фев 2015, 06:49

12d3 писал(а):Source of the post Можно вопрос? Вот вы приводите формулы, описывающие некоторые серии решений и говорите, что этими формулами описываются все решения. Но доказательства этого факта не приводите. А почему?

Потому, что надо показывать метод расчёта. Он нигде пока не опубликован.
Вернее публикации - даже хотя бы части решений запретили. Борятся и всё стирают. И при этом постоянно требуют показать на форумах метод расчёта.
Вот как в этой теме. http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=58&t=624107 http://www.artofproblemsolving.com/Forum/v...p?f=58&t=624107
Ну ничего. Я их измором беру! Постоянно влазию в ту или иную беседу и показываю, что очень многое можно решить.
Что же касаемо полноты решений, то надо каждое уравнение аккуратно рассматривать и выяснять какие у него условия и как при их соблюдении получаются решения. Но она совсем отдельная тема и её обсуждать пока рано.
Хотя я прекрасно понимаю, что те вопросы которые я пытаюсь решить для многих вообще не имеют смысла.
Например при решении систем нелинейных уравнений. Что там обсуждать?
Они не умеют решать системы линейных Диофантовых уравнений. Используют переборы и различные алгоритмы.
Да и просто нелинейные системы алгебраических уравнений для них большая проблема. Ну задам вопрос как получить формулу?
И что мне ответят?

individ.an · Сообщение **individ.an** » 17 фев 2015, 07:17

omega писал(а):Source of the post И главное - какой задачи?

Книжка Диофанта. Под редакцией Башмаковой. На 7 и 8 странице.
Перепутал с периметром прямоугольника.

yourdomain.com