Формулы для решения Диофантовых уравнений.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 12 фев 2015, 12:25

ARRY писал(а):Source of the post
Или Вы всерьёз стремитесь отыскать универсальный способ решения произвольного диофантова уравнения?
Или Вам доставляет наслаждение сам процесс выписывания формул? Это объяснимо, сам в молодости был грешен.
Но в любом случае сначала сформулируйте задачу.

Я не понял, чего его искать? Все Диофантовы уравнения решаются одним методом.
Конечно все эти стороники алгебраической геометрии вещают лапшу на уши, что его не существует, но он есть.
Абсолютно все уравнения решить конечно нельзя, но есть такие уравнения которые поддаются решению.
Можно конечно сказать, что либо мы будем решать всё - либо ничего.
Я же придерживаюсь мнения, что надо решать такие уравнения которые можем. Тем более если таких уравнений очень много.
Хотя решил я уравнений довольно много. У меня в Блоге 200 с чем то постов. Каждый пост минимум одна формула.
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/blog.php?u=206450 http://www.artofproblemsolving.com/Forum/blog.php?u=206450
И как после такого числа решённых уравнений можно сказать, что одного метода не существует?
Кстати вот одна система нелинейных уравнений. Чтоб её решить надо решить уравнение 8-й степени.
http://math.stackexchange.com/questions/1037013/sinhas-theorem-for-equal-sums-of-like-powers-x-17x-27x-37-dots/1039432#1039432 http://math.stackexchange.com/questions/10...1039432#1039432
Это конечно если тупо в лоб её решать и то не решишь! А если схитрить, то можно решить довольно не ожиданные уравнения.

folk · Сообщение **folk** » 12 фев 2015, 17:43

Вот ты какой Омег!

ARRY · Сообщение **ARRY** » 13 фев 2015, 04:44

folk писал(а):Source of the post Вот ты какой Омег!

А кто такой Омег?

12d3 · Сообщение **12d3** » 13 фев 2015, 05:49

individ.an писал(а):Source of the post Корень из 2 - это иррациональное число. Какие там могут быть решения?

Бесконечно много решений. [math]X=p,\,\,Y=0,\,\,Z=0[\math] По вашей формуле получаются такие решения:[math]X=-4p^2+2s^2,\,\,Y=0,\,\,Z=0[\math] Это далеко не все решения. Следовательно, утверждение о том, что ваши формулы дают все решения, неверно. Кстати, не могли бы вы привести доказательство того, что если ни один из трех квадратных корней не является целым, то решений нет.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 13 фев 2015, 10:50

12d3 писал(а):Source of the post Бесконечно много решений. [math]X=p,\,\,Y=0,\,\,Z=0[\math] По вашей формуле получаются такие решения:[math]X=-4p^2+2s^2,\,\,Y=0,\,\,Z=0[\math] Это далеко не все решения. Следовательно, утверждение о том, что ваши формулы дают все решения, неверно. Кстати, не могли бы вы привести доказательство того, что если ни один из трех квадратных корней не является целым, то решений нет.

При решении таких уравнений всегда подразумевается, что решения ищуться не тривиальные!
В таком случае - по Вашему выходит, что теорема Ферма имеет бесконечно много решений.
Я же уже сказал, что при выяснении существование целых корней - надо рассмотреть есть ли эквивалентная квадратичная форма при которой хоть один будет целым.
Делают обычно замену например: $x\rightarrow x+ky$
Самое интересное в этих формулах вывод и получение их.
Метод расчёта нигде пока не опубликован и даже наоборот - публикации его категорически запретили. Хотя узнать хотят все.
Поэтому на данном этапе я отрабатываю и улучшаю его. Выясняю для каких уравнений его можно применять и на сколько облегчает расчёт.
Хотя по Вашему вопросу ясно, что не понимаете как представить любое число какой нибудь суммой.
И то, что можно получить другое решение умножив или разделить на общий делитель.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 14 фев 2015, 17:46

Собрался открыть отдельную тему, но там путаница возникла. Хотя всё равно формулы нарисую тут.
Начну с одной системы нелинейных Диофантовых уравнений.
Она обсуждалась там сперва. http://www.mathforum.ru/forum/read/1/13491/13491/#13491 http://www.mathforum.ru/forum/read/1/13491/13491/#13491
Потом проверялась и пытались выяснить как её решили там. http://mathoverflow.net/questions/146768/solutions-of-system-of-diophantine-equations http://mathoverflow.net/questions/146768/s...ntine-equations
Значит так. Вот такая система уравнений:

$\left\{\begin{aligned}&x^2-y^2+z^2-t^2+q^2-u^2=0\\&xy+zt-qu=0\end{aligned}\right.$

Чтоб формулы выглядели компактно - сделаю замену.
$$p=a^2-3b^2$$

Тогда решения можно записать как:

$$x=(j(p^2-4ps+3s^2)-(p-s)(3p^2-4ps+s^2))k^2+$$

целые числа которые мы задаём.
Как настроение будет потихоньку некоторые формулы буду рисовать.
Оказывается Диофантовые уравнения могут нам помочь в решении нелинейных алгебраических уравнений.
И не просто числено решить уравнение, а именно записать формулу решения системы уравнений.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 15 фев 2015, 07:19

Вот ещё одни системки нелинейных уравнений.

$\left\{\begin{aligned}&a^2+b^2=c^2\\&(a+k)^2+(b+k)^2=q^2\end{aligned}\right.$

Решения имеют вид:

$$a=p(2s-p)$$

$\left\{\begin{aligned}&a^2+ab+b^2=c^2\\&(a+k)^2+(a+k)(b+k)+(b+k)^2=q^2\end{aligned}\right.$

И решения:

$$a=2s^2-2p^2$$

Или же запишем по другому.

$$a=s^2-4p^2$$

И вообще система с коэфициентами.

$\left\{\begin{aligned}&aX^2+bY^2=cZ^2\\&a(X+k)^2+b(Y+k)^2=cR^2\end{aligned}\right.$

Для случая когда корень $\sqrt{c(a+b)}$ тогда формулу можно записать.

$X=(a+b)(a+b-c)(c\pm\sqrt{c(a+b)})p^2-2b(a+b-c)ps\sqrt{c(a+b)}$ $+ba(c\mp\sqrt{c(a+b)})s^2$

$Y=(a+b)(a+b-c)(c\pm\sqrt{c(a+b)})p^2+2a(a+b-c)ps\sqrt{c(a+b)}$ $+ba(c\mp\sqrt{c(a+b)})s^2$

$Z=(a+b)(a+b-c)(a+b\pm\sqrt{c(a+b)})p^2+ba(a+b\mp\sqrt{c(a+b)})s^2$

$$k=-2(c(a+b-c)(a+b)p^2+cbas^2)$$

$R=(a+b)(a+b-c)(-(a+b)\pm\sqrt{c(a+b)})p^2+ba(-(a+b)\mp\sqrt{c(a+b)})s^2$

$$p,s -$$

целые числа которые мы задаём.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 15 фев 2015, 16:04

Зачем эти системы понадобились не знаю.
Но на парочёк форумов вопрос был как их решить. Решения напишу.

$\left\{\begin{aligned}&X^2+Y^2+Z^2=2R^2\\&F^2+G^2+T^2=R^2\end{aligned}\right.$

Решения будут.

$$X=4(c^2+f^2+k^2)k^2-(2c^2-2d^2+f^2)f^2-(d^2-c^2)^2$$

И другая система.

$\left\{\begin{aligned}&X^2+Y^2+Z^2=2(R^2+W^2)\\&F^2+G^2+T^2=R^2+W^2\end{aligned}\right.$

$$X=4(t^2+q^2-a^2-v^2)a^2+(v^2+t^2+q^2-z^2)^2$$

Надо ещё рассказать про решение уравнения мадам Зарангешь, но формулу я уже размешал тут.
http://e-science.ru/node/143200 http://e-science.ru/node/143200

individ.an · Сообщение **individ.an** » 15 фев 2015, 16:28

Ну это уравнение - представление пятиугольных чисел суммой двух квадратами.
Решить надо это уравнение:

$X^2+Y^2=\frac{Z(3Z\pm1)}{2}$

Для этого надо воспользоваться решениями уравнения Пелля. $p^2-2(6k^2-6k+1)s^2=\pm1$
Хотя можно использовать и чуть похожее уравнение( с чуть другим коэффициентом).
Тогда используя решения уравнения Пелля - сами решения можно записать.

$$X=kps+2(k-1)s^2$$

Или другие решения:

$$X=p^2+(7k-4)ps+2(2k-1)(3k-2)s^2$$

individ.an · Сообщение **individ.an** » 15 фев 2015, 16:51

Ну надо сказать про бинарную квадратичную форму.
Вот как решает продивнутый народ. http://mathoverflow.net/questions/31118/integer-polynomials-taking-square-values http://mathoverflow.net/questions/31118/in...g-square-values
А вот так решаю я.
Уравнение например такое:

$$y^2=ax^2+bx+q^2$$

Тогда воспользовавщись таким уравнением Пелля: $$p^2-as^2=1$$

Решения можно записать.

$$x=(2qp+bs)s$$

Если же решать будем такую форму: $$aX^2+bXY+cY^2=f$$

Если такой корень рационален $\sqrt{\frac{f}{a+b+c}}$

Воспользуемся решениями такого уравнения Пелля: $$p^2-(b^2-4ac)s^2=1$$

Решения можно записать.

$Y=((4a+2b)ps\pm(p^2+(b^2-4ac)s^2))\sqrt{\frac{f}{a+b+c}}$

$X=(-(4c+2b)ps\pm(p^2+(b^2-4ac)s^2))\sqrt{\frac{f}{a+b+c}}$

Если такой корень рационален. $\sqrt{fa}$ тогда решения можно записать.

$Y=4ps\sqrt{fa}$

$X=(-2bps\pm(p^2+(b^2-4ac)s^2))\sqrt{\frac{f}{a}}$

Если рассмотрим такое уравнение: $$aX^2-qY^2=f$$

Ну и корень этот рационален: $\sqrt{\frac{f}{a-q}}$
Воспользуемся таким уравнением Пелля: $$p^2-aqs^2=1$$

Решения можно записать.

$Y=(2aps\pm(p^2+aqs^2))\sqrt{\frac{f}{a-q}}$

$X=(2qps\pm(p^2+aqs^2))\sqrt{\frac{f}{a-q}}$

Эту формулу написал чтоб показать как в этой форме и решении делаются сокрашения.
Надо потом не забыть, что у последнего уравнения есть двойник. И он ищется по формуле.

$$Y_2=Y+2as(qsY-pX)$$

Зная одно решение можно найти другое - его двойника.

yourdomain.com