Индекс комплексного векторного поля

Dr. Arrieta · Сообщение **Dr. Arrieta** » 29 дек 2014, 12:44

Имеется комплексное векторное поле, описываемое в полярных координатах двумя уравнениями:
$r'=r^{k}*cos[(k-1)\phi ]$
$\phi '=r^{k-1}*sin[(k-1)\phi ]$
И рисунок окружности с направлениями я приложил, индекс получается равным 2, так и должно быть, но я хоть убей не понимаю, каким образом были получены такие направления. Единственное, что совпадает с моими суждениями, это точки 1 и 5. Все остальное - вообще непонятно. Например, та же точка 4: $\phi '$ будет отрицательным (т.к. синус в этом районе положительный, а r - отрицательный), значит стрелка вниз, а вот r' будет не положительным, как это следует из рисунка, а тоже отрицательным, ведь косинус в этом районе тоже отрицательный, а вот r^2 всегда положителен. Значит гипотенуза, т.е. результирующее направление между этими двумя будет в другую сторону.
Ну и также непонятно, что делать с точками $\frac{\pi }{2}$ и $\frac{3\pi }{2}$ , ведь там r вообще равен нулю и следовательно все производные будут равные нулю автоматически, тем не менее какие-то направления на рисунке все равно заданы.
Объясните пожалуйста!

Рубен · Сообщение **Рубен** » 04 янв 2015, 19:22

а можете мне объяснить, что означают переменные $r' %u0438 \varphi '$ и $\varphi '$ ? Это компоненты плоского векторного поля в полярных координатах ?

Ian · Сообщение **Ian** » 04 янв 2015, 21:49

От равенства $z=re^{i\varphi}$ берем производную по условной переменной t, получаем $z'=z^{k}$ , аргумент изменится на 2kП при любом однократном полном обходе нуля, значит индекс равен k

Рубен · Сообщение **Рубен** » 05 янв 2015, 07:02

Ian писал(а):Source of the post От равенства $z=re^{i\varphi}$ берем производную по условной переменной t

$\fn_cm {z}$ - комплекснозначная функция действительной переменной? $\fn_cm k$ - модуль её производной?

получаем $z'=z^{k}$

У меня вышло так: $\fn_cm {z}'=\rho \cdot e^{i(\alpha + \varphi) }$
$\fn_cm \rho =\sqrt{\dot{r}^2 +(r\dot{\varphi })^2}$
$\fn_cm \alpha = \arctan{\frac{r\dot{\varphi} }{\dot{r}}$

Ian · Сообщение **Ian** » 05 янв 2015, 15:18

Нет k это данное целое число, упорно верьте в разумность мира )
$z'=r'e^{i\varphi}+ir\varphi 'e^{i\varphi}=r^k\cos (k-1)\varphi e^{i\varphi}+ir^k\sin (k-1)\varphi e^{i\varphi}=\\=r^ke^{i\varphi}e^{i(k-1))\varphi}=z^k$
Но это неважно, что производная случайно оказалась аналитической функцией, могла бы и любая непрерывная функция на плоскости быть, все равно у изолированной стационарной точки (здесь z=0) индекс определен

Dr. Arrieta · Сообщение **Dr. Arrieta** » 07 янв 2015, 14:22

Да, я понимаю, что индекс равен к, но я не понимаю, как он был получен именно используя эту диаграмму с направлениями. Там они просто не совпадают со знаками этих производных, а ответ получается верным, т.е. 1,2,3 и т.д. в зависимости от взятого к.

Рубен · Сообщение **Рубен** » 07 янв 2015, 14:38

А я лично непонимаю, где задано само векторное поле?
Если $$r'$$

и $\varphi '$ - это производные, как пояснил уважаемый Ian, то в заглавном посте выписано не уравнение векторного поля (которое должно выглядеть как $$u = u(z)$$

, где u - комплекснозначная функция комплексного аргумента z), а только система ОДУ второго порядка, решение которой $$r(t)$$

и $\varphi(t)$ задает кривую на плоскости (или семейство кривых).

Ian · Сообщение **Ian** » 07 янв 2015, 19:05

Вот как при k=2 получается индекс 2 графически -пририсовал к рисунку ТС
Ведь что такое полярные координаты - это разновидность локальных координат.В каждой точке можно пририсовать репер: 2 базисных вектора касательного пространства, один в направлении возрастания 1-й координаты при постоянстве 2й (касательный значит к линии уровня 2й координаты)- у нас значит это вектор. торчащий всегда от нуля,
второй в направлении возрастания второй координаты фи,аналогично, и он будет всегда перпендикулярен первому и образовывать с ним правильно ориентированный (забыл как называется, левый или правый, но всегда одинаковый) базис. Вот я и пририсовал их к каждой точке. В них (а не в постоянном базисе) откладывать по 1й координате 'r" то, что получается в 1м уравнении, по 2й координате "фи" то, что во втором уравнении. И тогда видно, отчего получился индекс 2 -один оборот совершает вектор поля относительно репера, плюс еще оборот в том же направлении совершает репер
Про криволинейные локальные координаты и их свойства -это в дифгеометрии можно почитать
Теперь что не понимал Рубен - в этих только терминах можно корректно объяснить. Этот вот репер в книгах еще называется" естественный базис касательного пространства". Так вот задать векторное поле -это для каждой точки указать 2 координаты вектора в этом ЕБКП, а не в каком-то некорректном базисе, не зависящем от точки. Некорректном -потому что кто вам сказал, что дифференциал (дифференциал -это координата в касательном пространстве. а вы думали кто)?вот зря думали) фи надо откладывать именно от направления действительной оси
Ну теперь у вас есть шансы разобраться)

Рубен · Сообщение **Рубен** » 08 янв 2015, 09:51

Нет, это как бы понятно еще из механики. Дифференцируя один раз радиус-вектор в полярных координатах, получаем скорость, а вернее поле скоростей:
$\mathbf{r}' = {r}'\cdot \mathbf{e_r}+\mathbf{{e_r}}'\cdot r ={r}'\cdot \mathbf{e_r}+r {\varphi}' \cdot \mathbf{e_\varphi}$
Где орты $\mathbf{e_r}$ и $\mathbf{e_\varphi}$ сопровождают $\mathbf{r}$ , то есть, как бы "жестко сидят" у него "на конце": первый коллинеарный $\mathbf{r}$ , второй - ортогональный.
То есть, в первом посте задано просто поле скоростей (производных) этого же векторока $\mathbf{r}$ ?
Другими словами, задано уравнение движения, решив которое получим все возможные траектории - векторные линии поля скоростей $\mathbf{r}'$ .

Рубен · Сообщение **Рубен** » 08 янв 2015, 10:16

Вообщем, что по рисунку, то со всем, кроме точек 4 и 6, мне ясно и я согласен. На рисунке в этих точках производная направлена строго вдоль $\mathbf{r}$ , как в точке 5, а должна быть под углом к $\mathbf{r}$ , как в точке 8 и 2.

yourdomain.com