Имеется комплексное векторное поле, описываемое в полярных координатах двумя уравнениями:
И рисунок окружности с направлениями я приложил, индекс получается равным 2, так и должно быть, но я хоть убей не понимаю, каким образом были получены такие направления. Единственное, что совпадает с моими суждениями, это точки 1 и 5. Все остальное - вообще непонятно. Например, та же точка 4: будет отрицательным (т.к. синус в этом районе положительный, а r - отрицательный), значит стрелка вниз, а вот r' будет не положительным, как это следует из рисунка, а тоже отрицательным, ведь косинус в этом районе тоже отрицательный, а вот r^2 всегда положителен. Значит гипотенуза, т.е. результирующее направление между этими двумя будет в другую сторону.
Ну и также непонятно, что делать с точками и , ведь там r вообще равен нулю и следовательно все производные будут равные нулю автоматически, тем не менее какие-то направления на рисунке все равно заданы.
Объясните пожалуйста!
Индекс комплексного векторного поля
- Dr. Arrieta
- Сообщений: 458
- Зарегистрирован: 02 авг 2009, 21:00
Индекс комплексного векторного поля
Последний раз редактировалось Dr. Arrieta 27 ноя 2019, 20:14, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Индекс комплексного векторного поля
а можете мне объяснить, что означают переменные и ? Это компоненты плоского векторного поля в полярных координатах ?
Последний раз редактировалось Рубен 27 ноя 2019, 20:14, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Индекс комплексного векторного поля
От равенства берем производную по условной переменной t, получаем , аргумент изменится на 2kП при любом однократном полном обходе нуля, значит индекс равен k
Последний раз редактировалось Ian 27 ноя 2019, 20:14, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Индекс комплексного векторного поля
- комплекснозначная функция действительной переменной? - модуль её производной?Ian писал(а):Source of the post От равенства берем производную по условной переменной t
У меня вышло так:получаем
Последний раз редактировалось Рубен 27 ноя 2019, 20:14, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Индекс комплексного векторного поля
Нет k это данное целое число, упорно верьте в разумность мира )
Но это неважно, что производная случайно оказалась аналитической функцией, могла бы и любая непрерывная функция на плоскости быть, все равно у изолированной стационарной точки (здесь z=0) индекс определен
Но это неважно, что производная случайно оказалась аналитической функцией, могла бы и любая непрерывная функция на плоскости быть, все равно у изолированной стационарной точки (здесь z=0) индекс определен
Последний раз редактировалось Ian 27 ноя 2019, 20:14, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
- Dr. Arrieta
- Сообщений: 458
- Зарегистрирован: 02 авг 2009, 21:00
Индекс комплексного векторного поля
Да, я понимаю, что индекс равен к, но я не понимаю, как он был получен именно используя эту диаграмму с направлениями. Там они просто не совпадают со знаками этих производных, а ответ получается верным, т.е. 1,2,3 и т.д. в зависимости от взятого к.
Последний раз редактировалось Dr. Arrieta 27 ноя 2019, 20:14, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Индекс комплексного векторного поля
А я лично непонимаю, где задано само векторное поле?
Если и - это производные, как пояснил уважаемый Ian, то в заглавном посте выписано не уравнение векторного поля (которое должно выглядеть как , где u - комплекснозначная функция комплексного аргумента z), а только система ОДУ второго порядка, решение которой и задает кривую на плоскости (или семейство кривых).
Если и - это производные, как пояснил уважаемый Ian, то в заглавном посте выписано не уравнение векторного поля (которое должно выглядеть как , где u - комплекснозначная функция комплексного аргумента z), а только система ОДУ второго порядка, решение которой и задает кривую на плоскости (или семейство кривых).
Последний раз редактировалось Рубен 27 ноя 2019, 20:14, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Индекс комплексного векторного поля
Вот как при k=2 получается индекс 2 графически -пририсовал к рисунку ТС
Ведь что такое полярные координаты - это разновидность локальных координат.В каждой точке можно пририсовать репер: 2 базисных вектора касательного пространства, один в направлении возрастания 1-й координаты при постоянстве 2й (касательный значит к линии уровня 2й координаты)- у нас значит это вектор. торчащий всегда от нуля,
второй в направлении возрастания второй координаты фи,аналогично, и он будет всегда перпендикулярен первому и образовывать с ним правильно ориентированный (забыл как называется, левый или правый, но всегда одинаковый) базис. Вот я и пририсовал их к каждой точке. В них (а не в постоянном базисе) откладывать по 1й координате 'r" то, что получается в 1м уравнении, по 2й координате "фи" то, что во втором уравнении. И тогда видно, отчего получился индекс 2 -один оборот совершает вектор поля относительно репера, плюс еще оборот в том же направлении совершает репер
Про криволинейные локальные координаты и их свойства -это в дифгеометрии можно почитать
Теперь что не понимал Рубен - в этих только терминах можно корректно объяснить. Этот вот репер в книгах еще называется" естественный базис касательного пространства". Так вот задать векторное поле -это для каждой точки указать 2 координаты вектора в этом ЕБКП, а не в каком-то некорректном базисе, не зависящем от точки. Некорректном -потому что кто вам сказал, что дифференциал (дифференциал -это координата в касательном пространстве. а вы думали кто)?вот зря думали) фи надо откладывать именно от направления действительной оси
Ну теперь у вас есть шансы разобраться)
Ведь что такое полярные координаты - это разновидность локальных координат.В каждой точке можно пририсовать репер: 2 базисных вектора касательного пространства, один в направлении возрастания 1-й координаты при постоянстве 2й (касательный значит к линии уровня 2й координаты)- у нас значит это вектор. торчащий всегда от нуля,
второй в направлении возрастания второй координаты фи,аналогично, и он будет всегда перпендикулярен первому и образовывать с ним правильно ориентированный (забыл как называется, левый или правый, но всегда одинаковый) базис. Вот я и пририсовал их к каждой точке. В них (а не в постоянном базисе) откладывать по 1й координате 'r" то, что получается в 1м уравнении, по 2й координате "фи" то, что во втором уравнении. И тогда видно, отчего получился индекс 2 -один оборот совершает вектор поля относительно репера, плюс еще оборот в том же направлении совершает репер
Про криволинейные локальные координаты и их свойства -это в дифгеометрии можно почитать
Теперь что не понимал Рубен - в этих только терминах можно корректно объяснить. Этот вот репер в книгах еще называется" естественный базис касательного пространства". Так вот задать векторное поле -это для каждой точки указать 2 координаты вектора в этом ЕБКП, а не в каком-то некорректном базисе, не зависящем от точки. Некорректном -потому что кто вам сказал, что дифференциал (дифференциал -это координата в касательном пространстве. а вы думали кто)?вот зря думали) фи надо откладывать именно от направления действительной оси
Ну теперь у вас есть шансы разобраться)
Последний раз редактировалось Ian 27 ноя 2019, 20:14, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Индекс комплексного векторного поля
Нет, это как бы понятно еще из механики. Дифференцируя один раз радиус-вектор в полярных координатах, получаем скорость, а вернее поле скоростей:
Где орты и сопровождают , то есть, как бы "жестко сидят" у него "на конце": первый коллинеарный , второй - ортогональный.
То есть, в первом посте задано просто поле скоростей (производных) этого же векторока ?
Другими словами, задано уравнение движения, решив которое получим все возможные траектории - векторные линии поля скоростей .
Где орты и сопровождают , то есть, как бы "жестко сидят" у него "на конце": первый коллинеарный , второй - ортогональный.
То есть, в первом посте задано просто поле скоростей (производных) этого же векторока ?
Другими словами, задано уравнение движения, решив которое получим все возможные траектории - векторные линии поля скоростей .
Последний раз редактировалось Рубен 27 ноя 2019, 20:14, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Индекс комплексного векторного поля
Вообщем, что по рисунку, то со всем, кроме точек 4 и 6, мне ясно и я согласен. На рисунке в этих точках производная направлена строго вдоль , как в точке 5, а должна быть под углом к , как в точке 8 и 2.
Последний раз редактировалось Рубен 27 ноя 2019, 20:14, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 72 гостей