Вычеты

Евгений Быков

Приветствую. Помогите посчитать интеграл, пожалуйста
$\dpi{150} \int_{\left |z\right |=\sqrt{3}} \frac{\sin \pi z}{z(z-1)}dz$
Особые точки - 0 и 1
Вычет для 1 равняется нулю. А вот для нуля посчитать не получается

12d3 · Сообщение **12d3** » 17 дек 2014, 08:17

У особых точек 0 и 1 одинаковый тип. Какой?

Ian · Сообщение **Ian** » 17 дек 2014, 14:01

Не соглашусь, что тип одинаковый. 0 вообще доопределяемая точка аналитичности, так как $\frac{\sin\pi z}{z}=\pi-\frac{\pi^3z^2}{6}+...$ представима рядом Тейлора в окрестности нуля, и другой сомножитель $\frac{1}{z-1}=-1-z-...$ тоже, интеграл по маленькому контуру, охватывающему только 0, равен 0

12d3 · Сообщение **12d3** » 17 дек 2014, 14:16

$\frac{\operatorname{sin} \pi z}{z-1} = - \frac{\operatorname{sin} \pi (z-1)}{z-1}$ . Раскладывается в ряд Тейлора в окрестности единицы. Оставшийся сомножитель $\frac{1}{z} = \frac{1}{1+(z-1)}$ - тоже.

yourdomain.com

Вычеты

Вычеты

Вычеты

Вычеты

Вычеты

Кто сейчас на форуме