Преобразование ЭМП с помощью гармоник Фурье

Евгений Быков

Приветствую. Не могу разобраться с задачей.

ЭМП разложено на плоские волны, те интеграл Фурье по координатам:

$\vec{E}(\vec{r},t)=\int E_{k}(t)*\exp(i\vec{kr})\frac{dk}{(2\pi)^{3}}$
$\vec{E}_{k}(t)=\int \vec{E}(\vec{r},t)\exp (-i\vec{k*r})dr$
Для напряженности магнитного поля аналогичные разложения.Записать уравнения Максвелла для пространственных гармоник Фурье.
Я записал четверку уравнений Максвелла. Начал решил, посмотрел в ответы и они другие.
Вот мое решение одного из уравнений:
$rot(\vec{E}(\vec{r},t))=-\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{H}(\vec{r},t)}{\partial t}$
Подставляю значения из разложения.
$\int rot [E_{k}(t) exp(i \vec{k} \vec{r})] \frac{dk}{(2\pi )^{3}}= -\frac{1}{c} \int exp(i \vec{k} \vec{r}) \frac{\partial \vec{H}_{k}(t) }{\partial t} \frac{dk}{(2\pi)^{3}}$
$\vec{E}_k(t) rot[exp(i \vec{k} \vec{r})]= -\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{H}_k(t)}{\partial t}$
Не могу посчитать ротор от этой экспоненты.
Это должно получиться:
$i\vec{k}\times \vec{E}_{k}= -\frac{1}{c} \frac{\partial \vec{H}_{k}}{\partial t}$
Где я ошибся?
В первый раз пользуюсь редактором формул, извиняюсь за неточности.

Ошибка найдена. Я в формуле для ротора от произведения скаляара на вектор перепутал скаляр с вектором. Спасибо zykov и 12d3 за помощь.

12d3 · Сообщение **12d3** » 29 ноя 2014, 06:40

del. Глупость написал.

Евгений Быков

12d3 писал(а):Source of the post del. Глупость написал.

А пояснить нельзя было?

12d3 · Сообщение **12d3** » 29 ноя 2014, 14:46

Имелось в виду, я написал глупость, потом стер.

zykov · Сообщение **zykov** » 30 ноя 2014, 05:03

Евгений Быков писал(а):Source of the post Начал решил, посмотрел в ответы и они другие.

А какие?

Евгений Быков

Я случайно записал его в свое решение. $i\vec{k}\times \vec{E}_{k}= -\frac{1}{c} \frac{\partial \vec{H}_{k}}{\partial t}$

zykov · Сообщение **zykov** » 01 дек 2014, 05:26

Евгений Быков писал(а):Source of the post Подставляю значения из разложения. $\int rot [E_{k}(t) exp(i \vec{k} \vec{r})] \frac{dk}{(2\pi )^{3}}= -\frac{1}{c} \int exp(i \vec{k} \vec{r}) \frac{\partial \vec{H}_{k}(t) }{\partial t} \frac{dk}{(2\pi)^{3}}$ $\vec{E}_k(t) rot[exp(i \vec{k} \vec{r})]= -\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{H}_k(t)}{\partial t}$ Не могу посчитать ротор от этой экспоненты.

Вообще говоря $rot [E_{k}(t) \: exp(i \vec{k} \vec{r})] \neq \vec{E}_k(t) \: rot[exp(i \vec{k} \vec{r})]$ . Собственно и ротора от скаляра нет.
Считайте ротор левой части по опредлению ротора $rot [E_{k}(t) \: exp(i \vec{k} \cdot \vec{r})]=\vec\nabla\times[E_{k}(t) \: exp(i \vec{k} \cdot \vec{r})]$ .

12d3 · Сообщение **12d3** » 01 дек 2014, 05:32

Так вот, ротор не от экспоненты.
У вас ротор от $\overrightarrow{E_k}(t) exp(i\overrightarrow{k}\overrightarrow{r})$ . Это произведение вектора и скаляра. Раскрывать его нужно по правилу $\operatorname{rot}(A\varphi) = \operatorname{grad}\varphi \times A+\varphi \operatorname{rot}A$ .

zykov · Сообщение **zykov** » 01 дек 2014, 05:32

zykov писал(а):Source of the post Считайте ротор левой части по опредлению ротора $\rot [E_{k}(t) \: exp(i \vec{k} \cdot \vec{r})]=\vec\nabla\times[E_{k}(t) \: exp(i \vec{k} \cdot \vec{r})]$

Точнее $\rot [\vec{E}_{k}(t) \: exp(i \vec{k} \cdot \vec{r})]=\vec\nabla\times[\vec{E}_{k}(t) \: exp(i \vec{k} \cdot \vec{r})]$ .

Евгений Быков

zykov писал(а):Source of the post Вообще говоря . Собственно и ротора от скаляра нет

Ахаха) Я перепутал вектор и скаляр, считал експоненту вектором, а амплитуду скаляром) И удивлялся, что же у меня рассчеты не идут) Спасибо)

yourdomain.com