Ряд Фурье для ф-ии Sin^2(x)

Roto · Сообщение **Roto** » 22 окт 2014, 10:00

Здравствуйте! Задача имеет физическую подоплеку. Я произвожу измерения эффекта который пропорционален квадрату напряженности электрического поля. Прикладываю синусоидальный сигнал к кристаллу $E=E_0{}*Sin(\omega t)$ . Образец при этом реагирует следующим образом: $$A(E)=k*E^2$$

, то есть $A(t)=k*E_0^2*Sin^2(\omega t)$ , где $$k$$

- некоторый коэффициент пропорциональности. Логично предположить, что частота измеряемого эффекта A при этом будет в два раза больше чем частота прикладываемого электрического поля E, потому как квадрат синуса равен 1, когда синус равен -1. Поэтому я и произвожу измерения на второй гармонике, то есть ловлю сигнал с образца с частотой $2\omega$ . Однако $Sin^2\left ( \omega t \right )$ это не то же самое что и $Sin(2\omega t)$ . Вопрос мой заключался в следующем: даже если основной вес сигнала и лежит на второй гармонике, а нет ли других более высоких гармоник в которые бьет $$Sin^2(x)$$

? Если так, то получается что я произвожу некорректные, или, если сказать точнее, неполные измерения.
Для того чтобы оценить насколько сильно влияют гармоники высшего порядка я и решил разложить $Sin^2\left ( \omega t \right )$ в ряд Фурье, чтобы оценить насколько весомы будут коэффициенты после $2\omega$ .
Но у меня ничего не получилось, давно я уже матаном не занимался. Воспользовался для начала онлайн калькулятором http://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/ryad/fure/http://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/ryad/fure/ , но он завис на вопрос о разложении sin^2(x) или sin(x)*sin(x). Тогда взялся за бумагу и ручку.
Функция $Sin^2\left ( \omega t \right )$ является четной, поэтому ее можно раскладывать только по косинусам:
$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }a_nCos(nx)$
$a_0{}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi }f(x) dx$
$a_n{}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi }f(x)Cos(nx) dx$
В результате я получил:
$$a_0=1$$

$a_n=-\frac{Sin(\pi(2-n))}{2\pi(2-n)}-\frac{Sin(\pi(2+n))}{2\pi(2+n)}$
Второй член $$a_n$$

зануляется при любых значениях $$n$$

, а первый зануляется при всех $$n$$

, кроме

. А именно:
$a_2=-\frac{1}{2\pi }\frac{Sin(0)}{0}$ , это какой-то там замечательный предел, на сколько я помню, поэтому $a_2=-\frac{1}{2\pi }$

В итоге я получил простую тригонометрическую формулу:
$Sin^2(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\pi}Cos(2x)$ , только откуда-то во втором слагаемом у меня появилось лишнее $\pi$ в знаменателе. Должно быть видимо так:
$Sin^2(x)=\frac{1-Cos(2x)}{2}$ .

Все выглядит очень правдоподобно, но неужели действительно $Sin^2\left ( \omega t \right )$ при разложении не порождает никаких дополнительных гармоник кроме $Cos(2\omega t)$ ?
И еще подскажите где ошибка, которая привела к появлению лишнего $\pi$ в знаменателе $Sin^2(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\pi}Cos(2x)$

12d3 · Сообщение **12d3** » 22 окт 2014, 10:15

[quote=Roto в t118972 (deleted)]a_2=-\frac{1}{2\pi }\frac{Sin(0)}{0}, это какой-то там замечательный предел, на сколько я помню, поэтому a_2=-\frac{1}{2\pi }[/quote] У вас в замечательном пределе под синусом и в знаменателе должно быть одно и тоже: $a_2 = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(\pi(2-n))}{\pi(2-n)}$ . Поэтому получится $\frac{1}{2}$ .

Roto · Сообщение **Roto** » 23 окт 2014, 06:54

Да, действительно Спасибо!

yourdomain.com