Движение шайбы по конусу

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 29 янв 2014, 17:31

Anik писал(а):Source of the post

В таком случае, а шарик МАЛЕНЬКИЙ, значит размерами его пренебрегаем!
И какая тогда разница, катится шарик или нет?

anik, Вы вообще читаете, или как? Я написал типы задачек, вполне понятно, хотите решать другие - ради Бога! Чего Вы пережёвываете что уже ясно и понятно сказано?
Шарик можно и маленький, но я этого не оговаривал.

Anik · Сообщение **Anik** » 29 янв 2014, 17:44

ALEX165 писал(а):Source of the post
Anik писал(а):Source of the post
В таком случае, а шарик МАЛЕНЬКИЙ, значит размерами его пренебрегаем!
И какая тогда разница, катится шарик или нет?

anik, Вы вообще читаете, или как? Я написал типы задачек, вполне понятно, хотите решать другие - ради Бога! Чего Вы пережёвываете что уже ясно и понятно сказано?
Шарик можно и маленький, но я этого не оговаривал.

Вы такой хитрый, и задачник ваш тоже неслабый.
Если шайба, то маленькая, либо с трением, либо - нет.
А если шарик (потому что шарик придумал я) то уж большой и с трением!

А давайте с вами устроим соревнование по бегу, только вы будете бежать в мешке, а я без оного.
Интересно, кто первый придёт к финишу? И кому бежать будет "сложноватенько"?

Рубен · Сообщение **Рубен** » 29 янв 2014, 17:54

Anik писал(а):Source of the post В таком случае, а шарик МАЛЕНЬКИЙ, значит размерами его пренебрегаем!

Вращением шарика любого радиуса, пренебречь невозможно. К тому же, если не пренебрегать размерами шайбы, то технически задача окажется неподъемной.
Так что прекращайте ёрничать.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 29 янв 2014, 18:14

Для маленькой шайбы без трения у меня уравнения Лагранжа привелись к виду:
$\ddot h-\dot \theta^2sin^2 (\alpha) h+gcos^2 (\alpha)=0$
$h^2\dot\theta=const$
Здесь:
$$h$$

- высота шайбы над вершиной конуса,
$\theta$ - угол оборота шайбы вокруг оси конуса,
$\alpha$ - половина угла при вершине конуса.

Но не проверял.

Период обращения по круговой орбите на высоте H получается:
$T=2\pi tg(\alpha)\sqrt{H/g}$ ,
а время соскальзывания по образующей без нач. скорости:
$T_s=\frac{1}{cos({\alpha})}\sqrt{2H/g}$ ,
правдоподобно.

Anik · Сообщение **Anik** » 29 янв 2014, 18:25

Рубен писал(а):Source of the post
Anik писал(а):Source of the post Это где же я такое заявлял?
Вот здесь:

Anik писал(а):Source of the post В конце концов наступает момент времени, когда центробежная сила станет равна по модулю силе тяжести шарика. При таком равенстве сил, шарик прекратит движение вниз и будет вращаться на неизменной высоте по окружности с радиусом . Эта окружность изображена на рисунке.

Я думаю, не надо сотый раз повторять, что такого развития событий, какое вы описали, не будет.

Ладно, такого развития событий не будет, а какой вариант развития событий будет по вашему мнению, (с учётом того, что шарик движется без трения)?

Рубен · Сообщение **Рубен** » 29 янв 2014, 18:47

Anik писал(а):Source of the post Ладно, такого развития событий не будет, а какой вариант развития событий будет по вашему мнению, (с учётом того, что шарик движется без трения)?

Это движение как раз суть решение первой задачи, которую поставил Алекс.

Anik · Сообщение **Anik** » 30 янв 2014, 06:22

Хочется маленько "погнать волну", чтобы проникнуться важностью задачи которую мы решаем и возбудить к ней интерес.
Понимание процессов, которые происходят при действии центральной силы с сохранением момента количества движения, связано не только с пониманием возникновения вихрей при сливании воды из центрального отверстия, но и с возникновением циклонов, торнадо, эффектом Ранка, парадоксом падающего спутника.
Но, начинать нужно с простых, типичных задач, анализ решения которых помогает составить представления о происходящих явлениях, выработать правильную физическую интуицию.
Зря мне здесь не разрешают рассмотреть задачу о вращении изолированной системы двух шариков с одинаковой массой, связанных нитью, которая может изменить длину. Эта задача проще, чем движение шайбы по конусу, а суть всё равно та же самая.

Хорошо, давайте я решу задачу, которую предложил Рубен.

Рубен писал(а):Source of the post Скорость шарика должна быть в начальный момент направлена строго горизонтально и иметь строго определенное значение. Найдите величину горизонтальной скорости, которую должен иметь шарик, чтобы вращаться на окружности радиусом на конусе, угол раствора которого $\alpha$ . Решается практически в уме.

Вот, только я предлагаю не усложнять задачу ещё одним параметром - углом $\alpha$ , а оставить этот угол равным $$45^o$$

.
Чтобы шарик вращался по равновесной окружности с радиусом $$R$$

, к нему должна быть приложена центростремительная сила $$F$$

, а чтобы шарик не падал вниз по конусу, к нему должна быть приложена сила $$-mg$$

, компенсирующая его вес.
С другой стороны, чтобы шарик не перемещался вверх или вниз по конусу, сила давления шарика на поверхность конуса должна быть нормальна к этой поверхности, и линия действия силы проходить через точку касания. Эта сила приложена в точке касания шарика с поверхностью конуса. Поскольку образующая конуса имеет угол $$45^o$$

к вертикали, то очевидно, что центростремительная сила $$F$$

(направленная горизонтально к оси конуса) должна быть равна по модулю силе компенсирующей тяжесть (направлена вертикально вверх), тогда их равнодействующая будет как раз нормальна к поверхности конуса.
$$F=mg$$

- это равенство позволяет найти модуль центростремительной силы при вращении шарика по равновесной окружности.
Имеем: $\frac{mv^2}{R}=mg$ или $$v^2=gR$$

, $v=\sqrt{gR}$ . (*)

Итак, если начальная скорость шарика удовлетворяет (*), то шарик сразу будет вращаться по равновесной окружности и не будет падать вниз. А если начальная скорость шарика чуть больше? Ведь шарик, тогда будет перемещаться по конусу вверх?
Вы согласны хотя бы с тем, что если начальная скорость больше, чем по условию (*), то шарик не будет без конца двигаться вверх по конусу, а найдёт себе там равновесную окружность, которая выше, и начнёт вращаться по ней?

zam2 · Сообщение **zam2** » 30 янв 2014, 08:33

Anik писал(а):Source of the post Вы согласны хотя бы с тем, что если начальная скорость больше, чем по условию (*), то шарик не будет без конца двигаться вверх по конусу, а найдёт себе там равновесную окружность, которая выше, и начнёт вращаться по ней?

Нет, не согласен. Шарик попадет на равновесную окружность, то есть ту, на которой его горизонтальная скорость обеспечивает ноль вертикальной составляющей равнодействующей сил, приложенных к шарику. Но попадет он на нее с ненулевой вертикальной скоростью. Поэтому по инерции проскочит выше, дойдет до окружности максимального подъема и пойдет вниз до окружности старта. Так и будет болтаться вверх-вниз.

Anik · Сообщение **Anik** » 30 янв 2014, 08:54

zam2 писал(а):Source of the post
Anik писал(а):Source of the post Вы согласны хотя бы с тем, что если начальная скорость больше, чем по условию (*), то шарик не будет без конца двигаться вверх по конусу, а найдёт себе там равновесную окружность, которая выше, и начнёт вращаться по ней?
Нет, не согласен. Шарик попадет на равновесную окружность, то есть ту, на которой его горизонтальная скорость обеспечивает ноль вертикальной составляющей равнодействующей сил, приложенных к шарику. Но попадет он на нее с ненулевой вертикальной скоростью. Поэтому по инерции проскочит выше, дойдет до окружности максимального подъема и пойдет вниз до окружности старта. Так и будет болтаться вверх-вниз.

Я не могу вам аргументированно возразить (пока) на этот счёт. Здесь нужно составить и решить дифференциальные уравнения движения, чтобы утверждать или отрицать такое поведение шарика.
Я этих уравнений не решал.
Я написал в скобочках пока, потому что мне нужно подумать. Может быть можно доказать поведение шарика в обход дифуров?
***Возможно ещё, что шарик будет приближаться к равновесной окружности по экспоненте.

Anik · Сообщение **Anik** » 30 янв 2014, 09:33

И всё-таки мне интуиция подсказывает, что приближение к равновесной окружности будет происходить по экспоненте.
Рассуждаю я примерно так: допустим шарик вращается по равновесной окружности (такое движение возможно). Теперь изменим скачком скорость шарика на малую величину в направлении образующей конуса, т.е. перпендикулярно окружности. Очевидно, что такая добавка скорости не изменит момент импульса шарика, и поэтому не изменит высоту и радиус равновесной окружности. Но, шарик получил возмущение по вертикали! Следовательно, начнет колебаться около прежней равновесной окружности, т.е. двигаться по эллипсу.

А теперь, допустим, что мы задали приращение скорости по касательной к окружности, в горизонтальном направлении в сторону вращения. Такая добавка даст приращение моменту импульса, следовательно равновесная окружность станет выше, и её радиус станет больше. Будет ли в этом случае "проскок" уже новой равновесной окружности - не знаю. Но, согласитесь с тем, что эти два варианта скоростных возмущений принципиально различны.

yourdomain.com