Бином Ньютона
Бином Ньютона
Не могу понять, когда доказываем(для n+1) сумму биномиальных коэффициентах, Cnm-1+Cmn, как именно она превратилась в Cmn+1
![$$C_{n}^{m-1}+C_{n}^{m}=C_{n+1}^{m}$$ $$C_{n}^{m-1}+C_{n}^{m}=C_{n+1}^{m}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24C_%7Bn%7D%5E%7Bm-1%7D%2BC_%7Bn%7D%5E%7Bm%7D%3DC_%7Bn%2B1%7D%5E%7Bm%7D%24%24)
Последний раз редактировалось naikiata 27 ноя 2019, 21:47, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Бином Ньютона
Вы бы хоть немного конкретнее были, что ли... а то непонятно, что именно непонятно
Последний раз редактировалось kiv 27 ноя 2019, 21:47, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Бином Ньютона
Рассмотрим многочлен
. Поскольку он
-ой степени, то его можно записать в виде
![$$\displaystyle (1+x)^n=C_n^0+C_n^1x+\ldots C_n^mx^m +\ldots +C_n^nx^n$$ $$\displaystyle (1+x)^n=C_n^0+C_n^1x+\ldots C_n^mx^m +\ldots +C_n^nx^n$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdisplaystyle%20%281%2Bx%29%5En%3DC_n%5E0%2BC_n%5E1x%2B%5Cldots%20C_n%5Emx%5Em%20%2B%5Cldots%20%2BC_n%5Enx%5En%24%24)
Здесь
- это просто обозначения коэффициентов, нижний индекс
отвечает за степень многочлена, а верхний
- за степень икса перед которой он стоит.
Теперь с одной стороны
![$$\displaystyle (1) \ \ (1+x)^{n+1}=C_{n+1}^0+C_{n+1}^1x+\ldots +C_{n+1}^mx^m +\ldots +C_{n+1}^{n+1}x^{n+1}$$ $$\displaystyle (1) \ \ (1+x)^{n+1}=C_{n+1}^0+C_{n+1}^1x+\ldots +C_{n+1}^mx^m +\ldots +C_{n+1}^{n+1}x^{n+1}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdisplaystyle%20%281%29%20%5C%20%5C%20%281%2Bx%29%5E%7Bn%2B1%7D%3DC_%7Bn%2B1%7D%5E0%2BC_%7Bn%2B1%7D%5E1x%2B%5Cldots%20%2BC_%7Bn%2B1%7D%5Emx%5Em%20%2B%5Cldots%20%2BC_%7Bn%2B1%7D%5E%7Bn%2B1%7Dx%5E%7Bn%2B1%7D%24%24)
А с другой
![$$\displaystyle (2)\ \ (1+x)^{n+1}=(1+x)(C_n^0+C_n^1x+\ldots +C_n^mx^m +\ldots +C_n^nx^n)$$ $$\displaystyle (2)\ \ (1+x)^{n+1}=(1+x)(C_n^0+C_n^1x+\ldots +C_n^mx^m +\ldots +C_n^nx^n)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdisplaystyle%20%282%29%5C%20%5C%20%281%2Bx%29%5E%7Bn%2B1%7D%3D%281%2Bx%29%28C_n%5E0%2BC_n%5E1x%2B%5Cldots%20%2BC_n%5Emx%5Em%20%2B%5Cldots%20%2BC_n%5Enx%5En%29%24%24)
Остаётся раскрыть в (2) скобки и сравнить коэффициенты при m-ой степени икса в (1) и (2).
Здесь
Теперь с одной стороны
А с другой
Остаётся раскрыть в (2) скобки и сравнить коэффициенты при m-ой степени икса в (1) и (2).
Последний раз редактировалось bot 27 ноя 2019, 21:47, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Бином Ньютона
Есть и другое доказательство.
будем исходить из формулы![$$C_n^m=\frac{n!}{(n-m)!m!}$$ $$C_n^m=\frac{n!}{(n-m)!m!}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24C_n%5Em%3D%5Cfrac%7Bn%21%7D%7B%28n-m%29%21m%21%7D%24%24)
итак, исходную сумму можно записать в виде:
![$$\frac{n!}{(n-m+1)!(m-1)!}+\frac{n!}{(n-m)!m!}=n!\left(\frac{1}{(n-m+1)!(m-1)!}+\frac{1}{(n-m)!m!}\right)=$$ $$\frac{n!}{(n-m+1)!(m-1)!}+\frac{n!}{(n-m)!m!}=n!\left(\frac{1}{(n-m+1)!(m-1)!}+\frac{1}{(n-m)!m!}\right)=$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%7Bn%21%7D%7B%28n-m%2B1%29%21%28m-1%29%21%7D%2B%5Cfrac%7Bn%21%7D%7B%28n-m%29%21m%21%7D%3Dn%21%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B%28n-m%2B1%29%21%28m-1%29%21%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%28n-m%29%21m%21%7D%5Cright%29%3D%24%24)
![$$n!\frac{n+1}{(n-m+1)!m!}=\frac{(n+1)!}{(n+1-m)!m!}=C_{n+1}^m$$ $$n!\frac{n+1}{(n-m+1)!m!}=\frac{(n+1)!}{(n+1-m)!m!}=C_{n+1}^m$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24n%21%5Cfrac%7Bn%2B1%7D%7B%28n-m%2B1%29%21m%21%7D%3D%5Cfrac%7B%28n%2B1%29%21%7D%7B%28n%2B1-m%29%21m%21%7D%3DC_%7Bn%2B1%7D%5Em%24%24)
что и требовалось доказать.
будем исходить из формулы
итак, исходную сумму можно записать в виде:
что и требовалось доказать.
Последний раз редактировалось geh 27 ноя 2019, 21:47, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Бином Ньютона
А что такое
? Вот как раз наоборот, зная тождество Паскаля
, можно индукцией по
доказать формулу ![$$C_n^m=\frac{n!}{(n-m)!m!}$$ $$C_n^m=\frac{n!}{(n-m)!m!}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24C_n%5Em%3D%5Cfrac%7Bn%21%7D%7B%28n-m%29%21m%21%7D%24%24)
Последний раз редактировалось bot 27 ноя 2019, 21:47, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Бином Ньютона
Разумеется вы правы. Но в теории вероятности (сочетания)
эту формулу можно получить независимым способом.
эту формулу можно получить независимым способом.
Последний раз редактировалось geh 27 ноя 2019, 21:47, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Алгебра и теория чисел»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 4 гостей