Масса гравитационного поля Земли.

geh · Сообщение **geh** » 13 янв 2014, 14:03

Дано:
планета Земля.
Вычислить массу поля тяготения Земли.
Решение:
Логика решения такова: сначала вычислить энергию гравитационного поля, потом по известной формуле Эйнштейна перевести все в килограммы. Но как вычислить энергию?? Все просто! Возьмем на поверхности Земли камушек и "кинем" его со второй космической скоростью. Иными словами удалим его в бесконечность.
Итак камушек за камушком, пока от Земли ничего не останется!! Суммарная. Энергия потраченная на эту работу и есть энергия гравитационного поля Земли. Математически поступим проще: удалим в бесконечность тонкий слой поверхности Земли (вычислим один интеграл. Он очень простой). Далее будем удалять второй слой, третий ....пока от Земли ничего не останется (вычислим еще один совсем простой интеграл). И вычисленную энергию переведем в кг.
Ответ: масса гравитационного поля Земли равна $2*10^{15}$ кг.
вопрос: насколько верны (ложны) мои рассуждения?
2. Существует ли тело (например черная дыра), масса которого на 100% перейдет в гравитационное поле?

zam2 · Сообщение **zam2** » 13 янв 2014, 14:58

geh писал(а):Source of the post Ответ: масса гравитационного поля Земли равна $2*10^{15}$ кг.
вопрос: насколько верны (ложны) мои рассуждения?

Результат похож на правду. А рассуждения надо дополнить расчетной формулой и ее выводом - там же интеграл нужно считать в сферических координатах. Интересно полюбоваться.

geh писал(а):Source of the post 2. Существует ли тело (например черная дыра), масса которого на 100% перейдет в гравитационное поле?

На мой взляд, вопрос некорректный. Как это: "масса перейдет в гравитационное поле"?

balans · Сообщение **balans** » 13 янв 2014, 15:18

Здравия Вам желаю.

По Вашей логике энергия поля Земли
$$E=\frac {3} {5}G\frac {M^2} {R}=3.7*10^{32}Äæ$$
в килограммах
$$3.7*10^{32}Äæ /(3*10^8 ì/ñ)^2=2.5*10^{15} êã$$

Я считал по аналогии с электрическим полем
$E=\frac {G} {2}\int_{0}^{\infty}{g^2 4\pi r^2 dr}$
Если не напортачил, то должно получиться так
$E=\frac {M^2G} {R}(2\pi+\frac {3} {10})$

geh · Сообщение **geh** » 13 янв 2014, 17:08

Вычислил более точно.
Масса гравитационного поля равна $2,5*10^{15}$ кг.
А вот подробный расчет.
$F=G\frac{Mdm}{x^2}$
где M масса Земли, dm масса слоя Земли, x расстояние от центра Земли
$M=\frac43\pi R^3p$
где p=5520 кг/кубометр средняя плотность Земли
$dm=4\pi R^2dRp$
где dR толщина слоя
итак
$F=\frac{16}3\pi^2p^2GR^5dR\frac1{x^2}$
$dE=\int_R^\infty Fdx$
где dE элементарная работа по перемещению одного слоя в бесконечность
вычисляя интеграл получим
$dE=\frac{16}3\pi^2p^2GR^4dR$ (знак нас не интересует)
E суммарная энергия
$E=\int dE=\int_R^0\frac{16}3\pi^2p^2GR^4dR$
вычисляя интеграл получим
$E=\frac{16}{15}\pi^2p^2GR^5$
$$E=mc^2$$

формула Эйнштейна
отсюда имеем конечную расчетную формулу
$m=\frac{16}{15}\frac{\pi^2}{c^2}p^2GR^5$
да, R=6371000 м
Вот теперь второй вопрос.
Посмотрите на формулу, масса гравитационного поля пропорциональна квадрату плотности (p)
в то время как масса тела пропорциональна плотности в первой степени
ВЫВОД:
Чем больше масса тела и плотность, тем больший процент этой массы переходит
в гравитационное поле. А в черной дыре плотность такова, что вся масса перешла
в гравитационное поле!! Что не так?!
ОПРОВЕРГНИТЕ ЭТО !!!!!!!

zam2 · Сообщение **zam2** » 13 янв 2014, 19:11

geh писал(а):Source of the post ...отсюда имеем конечную расчетную формулу
$m=\frac{16}{15}\frac{\pi^2}{c^2}p^2GR^5$

Ну хорошо. Расчетная формула получена. Можно придираться к записи промежуточных выкладок, но не буду.
Конечную формулу удобнее иметь вот в таком виде:
$\frac {E_g} {E_0}=\frac 4 5 \pi \frac G {c^2} \rho R^2$
где $$E_g$$

- энергия гравитационного поля, $$E_0$$

- энергия покоя земного шара.

geh писал(а):Source of the post ВЫВОД: чем больше масса тела и плотность, тем больший процент этой массы переходит в гравитационное поле. А в черной дыре плотность такова, что вся масса перешла в гравитационное поле!! Что не так?!
ОПРОВЕРГНИТЕ ЭТО !!!!!!!

Никакая масса в гравитационное поле не переходит, и даже в энергию гравитационного поля не переходит. С дырами нам пока рано. Давайте разберемся с системой "Земной шар + кирпич". Вот вопрос. На первом этаже здания лежит кирпич. Его взяли и перенесли на девятый этаж. Как изменилась энергия гравитационного поля? Как изменилась масса Земли? Как изменилась масса кирпича? Как изменились масса всей системы?
И еще. Вы писали, что знак не важен. Все-таки не забывайте, что гравитационную энергию принято считать отрицательной.

zykov · Сообщение **zykov** » 13 янв 2014, 19:53

zam2 писал(а):Source of the post Все-таки не забывайте, что гравитационную энергию принято считать отрицательной.

Вот именно. Какой знак у дефекта массы ядра?

geh · Сообщение **geh** » 14 янв 2014, 06:36

Насчет знака я, может быть, перестарался. Но вычислялась все-таки масса, а ей минус ни к чему.
Отвечу и про кирпич. Вы можете куда хотите положить кирпич, общая энергия системы Земля - кирпич
не изменится, следовательно не изменится и гравитационное поле Земли. На Земле много чего происходит
и если это не выходит за пределы Земли, то изменений нет. А возьмите фонарик и посветите в звездное
небо - фотоны уйдут в мировое пространство - тяготение земли изменится (правда мы этого не заметим).

zam2 · Сообщение **zam2** » 14 янв 2014, 06:47

geh писал(а):Source of the post Вы можете куда хотите положить кирпич, общая энергия системы Земля - кирпич не изменится, следовательно не изменится и гравитационное поле Земли.

При перетаскивании кирпича вверх выполняется работа. Куда она идет?

geh · Сообщение **geh** » 14 янв 2014, 07:16

Вы меня извините, не хотелось бы вам объяснять элементарные вещи.
Хорошо, вы бросаете кирпич на землю - все 100% энергии перейдут в тепло
Вы кладете кирпич выше, чем он лежал, вы потратили энергию. У кирпича
была своя энергия, стало ещё больше. Самое Главное!! Это все осталось на Земле!!
Поверьте мне, что бы на Земле не происходило, ТАМ, за её пределами ничего не изменится!!

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 14 янв 2014, 07:26

geh писал(а):Source of the post
Поверьте мне, что бы на Земле не происходило, ТАМ, за её пределами ничего не изменится!!

Ну почему же. При перемещении кирпича будет меняться картина силовых линий
гравитационного поля системы Земля+кирпич.

yourdomain.com