Численно решить дифур

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 06 янв 2014, 16:33

Здравствуйте. В процессе решения задачи получил систему дифуров в переменных $x(t), \vartheta(t)$
$\displaystyle 2\cos\vartheta\ddot{x}+\cos^{2}\vartheta\ddot{\vartheta}-\sin\vartheta\cos\vartheta\dot{\vartheta}^{2}+2g\sin\vartheta\cos\vartheta\frac{\dot{\vartheta}}{\dot{x}}=&0\\\ddot{\vartheta}+\cos\vartheta\ddot{x}-g\sin\vartheta=&0$

Мне нужно получить численное решение. Причём, решение $\vartheta(t)$ лежит в интервале значений $$[-0.5..0.5]$$

.

Проблема в том, что решение должно обязательно пройти через точку с $\dot{x} = 0, \dot{\vartheta} = 0$ . Как тут быть? В голову приходит только один вариант -- как-то ввести новые координаты, в которых дробь $\frac{\dot{\vartheta}}{\dot{x}}$ будет всегда конечной.

Добавлю, что данная система имеет первый интеграл, может быть тоже можно как-то использовать...
$\displaystyle \dot{x}^{2}+\frac{1}{2}\dot{\vartheta}^{2}+\dot{x}\dot{\vartheta}\cos\vartheta-g\cos\vartheta=\text{const}$

Ian · Сообщение **Ian** » 06 янв 2014, 21:02

А почему бы 1е уравнение на косинус не сократить, в 0 он не обращается.
Действительно,лучше новые координаты $u,\theta$ , где u(t)= этому первому интегралу, и значит, одно из уравнений превратится в $\dot u =0$ его можно не решать а считать u параметром, определяемым начальными условиями. В любое из двух уравнений подставить выражение $\dot x$ через $u,\theta$ из квадратного уравнения, разобравшись, который из его корней нужен
Решать с начальным условием $\displaystyle u=-g\cos\theta (0)$ -задать какое Вам нужно, $\dot\theta (0)=0$
как уравнение 2-го порядка, Рунге-Куттой

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 07 янв 2014, 12:48

Ian писал(а):Source of the post
А почему бы 1е уравнение на косинус не сократить, в 0 он не обращается.
Действительно,лучше новые координаты $u,\theta$ , где u(t)= этому первому интегралу, и значит, одно из уравнений превратится в $\dot u =0$ его можно не решать а считать u параметром, определяемым начальными условиями. В любое из двух уравнений подставить выражение $\dot x$ через $u,\theta$ из квадратного уравнения, разобравшись, который из его корней нужен
Решать с начальным условием $\displaystyle u=-g\cos\theta (0)$ -задать какое Вам нужно, $\dot\theta (0)=0$
как уравнение 2-го порядка, Рунге-Куттой

Спасибо за идею. Попытался реализовать, но всё-равно не получилось избавиться от сингулярности.

Ввожу переменную

$\displaystyle h=\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}\dot{\vartheta}^{2}+\dot{x}\dot{\vartheta}\cos\vartheta-g\cos\vartheta$

выражаю $\dot{x}$ :

$\displaystyle \dot{x}=\frac{-\dot{\vartheta}\cos\vartheta\pm\sqrt{\dot{\vartheta}^{2}\cos^{2}\vartheta-4\left(-g\cos\vartheta-h+\frac{1}{2}\dot{\vartheta}^{2}\right)}}{2}$

дифференцирую по времени, чтобы получить $\ddot{x}$ и подставить его во второе уравнение -- в результате, как нетрудно видеть, в знаменатель попадает корень.

$\displaystyle \ddot{x}=-\frac{1}{2}\cos\vartheta\ddot{\vartheta}+\frac{1}{2}\sin\vartheta\dot{\vartheta}^{2}\pm\frac{1}{2}\frac{\dot{\vartheta}\ddot{\vartheta}\left(\cos^{2}\vartheta-2\right)-\cos\vartheta\sin\vartheta\dot{\vartheta}^{3}-2g\sin\vartheta\dot{\vartheta}}{\sqrt{\dot{\vartheta}^{2}\left(\cos^{2}\vartheta-2\right)+4g\cos\vartheta+4h}}$

В начальный момент $\dot{\vartheta}_{0}=0$ и корень равен нулю, т.к. выбираем $h=-g\cos\vartheta_{0}$ . Особенность, конечно же, устранимая (в числителе стоит выражение, умноженное на $\dot{\vartheta}$ ), но проинтегрировать численно не получается.

Ian · Сообщение **Ian** » 07 янв 2014, 14:00

cupuyc писал(а):Source of the post Особенность, конечно же, устранимая

Мне тоже так показалось. Хотя сходу найти предел не получилось. Попробуйте, и я попробую в свободное время.
После устранения доопределением проблем уже нет. можно первый шажок интегрирования делать отдельно(если делает матпакет).Либо вставить его в программу.Либо функцию в правой части уравнения определить через if

balans · Сообщение **balans** » 07 янв 2014, 18:04

Здравия Вам желаю.
Попытался совместить уравнения.
$\begin{pmatrix} 2& cos \theta \\ cos \theta & 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ddot{x} \\ \ddot{\theta}\\ \end{pmatrix} = sin \theta \begin{pmatrix} \dot{\theta}^2-2g \dot{\theta}/ \dot{x}\\ g\\ \end{pmatrix}$
и
$\begin{pmatrix} \dot{x}& \dot{\theta}& \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2& cos \theta \\ cos \theta & 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{\theta}\\ \end{pmatrix} =2g(cos\theta -cos\theta_0)$

Получилось
$\dot{\theta}\dot{x}=g$
Возможно где-то я допустил ошибка.

balans · Сообщение **balans** » 08 янв 2014, 05:25

balans писал(а):Source of the post
Возможно где-то я допустил ошибка.

Уравнения сходятся. Как обычно, ляпну с бодуна ...

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 08 янв 2014, 08:12

Ian, какая-то ерунда получилась. Попробовал вычислить предел $\frac{\dot{\vartheta}}{\dot{x}}$ . Как я понимаю, этот предел при $\dot{x}\to0$ , $\dot{\vartheta}\to0$ будет равен $\frac{\ddot{\vartheta}}{\ddot{x}}$ по теореме Лопиталя. Подставил в уравнения, решил -- получил комплексное число.

Ian · Сообщение **Ian** » 08 янв 2014, 12:35

Там не обязательно комплексное. А $\sin\theta _0$ меньше нуля или больше?

balans · Сообщение **balans** » 08 янв 2014, 17:36

Извините, что вмешиваюсь. Пытаюсь ковырнуть в матаппарате.
$\frac {\dot{\theta}^2-2g \alpha-g cos \theta} {-cos \theta \dot{\theta}^2+2g cos \theta \alpha+2g}=\frac {\ddot{x}} {\ddot\theta} }$

где $\alpha =\frac {\dot{\theta}} {\dot{x}}$

Учитывая, что $\dot {\theta}=0$ и правило Лопиталя, получилось

$\frac {-2g \alpha-g cos \theta} {2g cos \theta \alpha+2g}=\frac {1} {\alpha}$
Далее квадратное уравнение
$2\alpha^2+3cos\theta \alpha+2=0$
дискриминант которого
$D=9 cos^2\theta -16 <0$ .

Получается, что комплексных чисел не избежать. Все ли верно?

Ian · Сообщение **Ian** » 08 янв 2014, 20:01

Я так понял что вы оба одним путем шли. Да, у меня тоже это противоречие выходит в нуле, что показывает, что $\dot\theta (0)=0,\dot x(0)=0$ невозможно кроме случая $\theta_0=0$ , тогда получаются
$\ddot\theta (0)=0,\ddot x(0)=0$ . И если такой расклад Вам нужен, то стартуйте с $\Delta t$ и каких-то малых, но ненулевых начальных условий Рунге-Куттой

yourdomain.com