Дано уравнение:
где a - параметр. Требуется его решить приближенно. (точность? какая получится)
Можно сразу найти одно решение: при a=6 x=0
Было бы неразумно возводить это уравнение трижды в квадрат. Четыре радикала не помеха.
любой из них всегда можно убрать, например сделать подстановку , но получим мы
уравнение восьмой степени, которое более громоздко, чем наше. Попробуем решить это уравнение
по частям. Разложим его в ряд Тейлора, оставляя только x а первой степени. Имеем:
или
это простое квадратное уравнение относительно , решая его получим
пошли дальше.
Попробуем получить теперь асимптотическое решение этого уравнения
Заменяя все радикалы на меньший () получим неравенство
или
аналогично можно получить и второе неравенство
или
Итак мы имеем двойное неравенство
из этого неравенства следует решение
где
можно попробовать взять b=2,25, чтобы привязать решение к нашему уравнению
ведь при a=6 x=0. Можно. Но это не самое лучшее решение. Элементарный расчет
показывает, что лучше взять b=3,3.
то есть решение выглядит так
в этой формуле относительная погрешность при a>14 составляет всего 0,4%. Мало того
погрешность уменьшается пропорционально квадрату параметра a!! (фантастика!)
остался еще небольшой кусок (интервал) где решение ещё не найдено, полагаю, что это
не проблема. Надо рассмотреть функцию x=x(a). Это возрастающая вогнутая без каких-либо
особенностей функция. Возьмите ее три точки и решение практически в ваших руках
(ряд Тейлора применять не советую - замучают производные)
Решить иррациональное уравнение.
Решить иррациональное уравнение.
Последний раз редактировалось geh 28 ноя 2019, 06:37, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Решить иррациональное уравнение.
А вера не позволяет открыть любую книгу по методам вычислений и восхититься, до чего техника дошла?
Последний раз редактировалось Hottabych 28 ноя 2019, 06:37, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Решить иррациональное уравнение.
Через ряд Тейлора уравнение не решить.geh писал(а):Source of the post Попробуем решить это уравнение
по частям. Разложим его в ряд Тейлора, оставляя только x а первой степени.
Если задача другая, найти апроксимацию функции заданой не явно в виде уравнения, то тут ключевым будет определится, в какой области и какой точности апроксимация нужна.
А вообще конечно есть книги по вычислительной математике и стоит просто почитать, чтобы время по пусту не тратить.
Последний раз редактировалось zykov 28 ноя 2019, 06:37, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Решить иррациональное уравнение.
Я не трачу время даром. Одна такая самостоятельно решенная задача
стоит многих "прочитанных" задач, ведь собственный опыт ничто не заменит,
но спасибо вам за совет. К сожалению хорошую книгу практически невозможно
достать. Вперед, только вперёд, каждая решенная задача - шаг за "горизонт" !!
стоит многих "прочитанных" задач, ведь собственный опыт ничто не заменит,
но спасибо вам за совет. К сожалению хорошую книгу практически невозможно
достать. Вперед, только вперёд, каждая решенная задача - шаг за "горизонт" !!
Последний раз редактировалось geh 28 ноя 2019, 06:37, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Решить иррациональное уравнение.
Это глупости. Вы зря тратите время. Начиная с того, что у Вас нет четко поставленной задачи. Что вы понимаете под приближенным решением? А как ставятся задачи - плиз в литературу. Есть много интересных нерешенных задач, а Вы тратите свое время на попытку примитивно сформулировать простейшие понятия.
Последний раз редактировалось Hottabych 28 ноя 2019, 06:37, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Решить иррациональное уравнение.
Hottabych, скажите в каком учебнике написано, как решить в натуральных числах уравнение ?
Сумму в левой части можно считать для определенности достаточно большим нечетным , тогда как минимум одно решение имеется.
Ну, или хотя бы найти тождественную связь типа . Всех с Новым Годом!
Сумму в левой части можно считать для определенности достаточно большим нечетным , тогда как минимум одно решение имеется.
Ну, или хотя бы найти тождественную связь типа . Всех с Новым Годом!
Последний раз редактировалось Андрей А. 28 ноя 2019, 06:37, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Решить иррациональное уравнение.
А какое отношение имеет этот пост к теме разговора?
Последний раз редактировалось Hottabych 28 ноя 2019, 06:37, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Решить иррациональное уравнение.
К теории чисел имеет. И к теме - тоже, поскольку разговор получается об учебниках.
Последний раз редактировалось Андрей А. 28 ноя 2019, 06:37, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Решить иррациональное уравнение.
Само собой нужно решать самостоятельно. Для этого и есть задачники.geh писал(а):Source of the post Одна такая самостоятельно решенная задача стоит многих "прочитанных" задач...
Но в данном случае не соглашусь. Вы ни задачу грамотно сформулировать не можете, ни решение. Так что чтение учебника - необходимость.
1) Задача может формулироватся, как численное решение уравнения. Тут как правило решением будет итерационный алгоритм. Чем больше итераций, тем точнее решение. Оценка точности от числа итераций тоже является частью решения. Например для вычисления квадратного корня (решения уравнения ) можно использовать алгоритм . Общий метод тут - метод Ньютона. Есть методы и попроще, как например деление пополам (тут асимптотика сходимости меньше, чем у Ньютона).
2) Задачу можно формулировать, как апроксимация функции заданой неявно. Тут тоже существенной частью решения будет оценка точности апроксимации. А в задачу входит область апроксимации, требования по точности, вид апроксимирующей фукции (алгебраическое выражение, алгоритм и т.д.). Могут быть и другие требования, как непрерывность или гладкость, асимптотика ошибки в окрестности точки или на бесконечности, сложность вычисления и прочее.
Всё это нужно понимать, чтобы осознанно решать. А при решении практических задач нужно чётко определится с тем что требуется. Отсюда и будет следовать вид решения и компромис например между скорость вычисления и точностью.
Последний раз редактировалось zykov 28 ноя 2019, 06:37, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Решить иррациональное уравнение.
Андрей А. писал(а):Source of the post
К теории чисел имеет. И к теме - тоже, поскольку разговор получается об учебниках.
Разговор ни о чем и за жизнь - это к философам или в пивбар. Если есть чего сказать по теме - пожалуйста.
Последний раз редактировалось Hottabych 28 ноя 2019, 06:37, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 32 гостей