трехчленное уравнение пятой степени

geh
Сообщений: 224
Зарегистрирован: 09 дек 2013, 21:00

трехчленное уравнение пятой степени

Сообщение geh » 24 дек 2013, 17:36

Дано уравнение
$$x^5+px+q=0$$
надо решить его приближенно в радикалах с относительной погрешностью менее 1%
при следующих условиях
$$p<0$$ и $$x=0$$ при $$q=0$$ (ищется только один вещественный корень)
Решение:
для упрощения этого уравнения делается подстановка
$$x=(-\frac p5)^{0,25}z$$
$$q=4(-\frac p5)^{1,25}a$$
исходное уравнение принимает вид:
$$z^5-5z+4a=0$$
условие становится таким z=0 при a=0
собственно говоря, данное уравнение имеет три вещественных корня, но мы ищем одно
Последнее уравнение можно рассматривать как функцию одной переменной z=z(a). При заданных
условиях мы рассмотрим одну ветвь на отрезке $$a\in[-1;1]$$ и проходящую через начало координат.
легко видеть, что эта функция нечетная, а сама она похожа на синусоиду, но синусоида нам не нужна,
ведь мы ищем решение в радикалах. Для этого подходит функция следующего вида:
$$z=\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}$$
но точность ее невелика. Добавляем корректирующий множитель и функция обретает вид:
$$z=(\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}})(0,8-0,0929a^2)$$
элементарный просчет показывает, что относительная погрешность этой функции равна 0,9%
По сути задача решена, вернуться к исходным переменным позволят подстановки:
$$a=(\frac q4)(-\frac p5)^{-1,25}$$
$$z=x(-\frac p5)^{-0,25}$$
Итак, задача решена.
примечание:
обозначим буквой D следующее выражение:
$$D=(\frac p5)^5+(\frac q4)^4$$
легко доказать, что при
D<0 уравнение имеет три действительных корняD>0 - один корень
D=0 - два корня (здесь один из корней двукратный и в счет не попал)
аналогично можно найти и другие корни.
Этим же методом решаются все трехчленные уравнения произвольной
степени содержащие линейную часть.
я привел пример как решать уравнения в радикалах.
ведь точность приведенного решения легко увеличить.
Последний раз редактировалось geh 28 ноя 2019, 06:38, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
zykov
Сообщений: 1777
Зарегистрирован: 02 ноя 2009, 21:00

трехчленное уравнение пятой степени

Сообщение zykov » 24 дек 2013, 18:23

Что за ВУЗ, где такие задачи дают?

Любопытно, откуда это берется:
geh писал(а):Source of the post $$z=\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}$$
Последний раз редактировалось zykov 28 ноя 2019, 06:38, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

geh
Сообщений: 224
Зарегистрирован: 09 дек 2013, 21:00

трехчленное уравнение пятой степени

Сообщение geh » 25 дек 2013, 12:13

Почему ВУЗ ? У меня есть своя голова.
я поставил эту задачу - я ее решил.
Все знают, что общее уравнение выше четвертой степени
неразрешимо в радикалах (наверное это всех и отпугивает)
- Неразрешимо ТОЧНО! А приближенно??
Решайте с удовольствием!
Последний раз редактировалось geh 28 ноя 2019, 06:38, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
zykov
Сообщений: 1777
Зарегистрирован: 02 ноя 2009, 21:00

трехчленное уравнение пятой степени

Сообщение zykov » 25 дек 2013, 23:13

geh писал(а):Source of the post Все знают, что общее уравнение выше четвертой степени неразрешимо в радикалах (наверное это всех и отпугивает)
- Неразрешимо ТОЧНО! А приближенно??
Стандартный метод приближение в окрестности точки - часть ряда Тэйлора.
Зачем тут радикалы? Какая от них польза?
Последний раз редактировалось zykov 28 ноя 2019, 06:38, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

geh
Сообщений: 224
Зарегистрирован: 09 дек 2013, 21:00

трехчленное уравнение пятой степени

Сообщение geh » 26 дек 2013, 06:56

Стандартный метод (разложение в ряд Тейлора) не работает там,
где производная стремится к бесконечности. Я еще не придумал пример
с радикалами, но вот другой пример пожалуйста.
Требуется разложить в ряд Тейлора котангенс в точке x=0. Невозможно? Да?
Давайте поступим так. (ctgx=cosx/sinx) Разложим в ряд косинус и синус и
поделим один ряд на другой. В результате получим:
$$\ctg x=\frac1x-\frac x3-\frac{x^3}{45}-\frac{2x^5}{945} ... $$
Очевидно, что это не ряд Тейлора, но он сам по себе не плох. Определим
относительную погрешность этого ряда. Элементарно проверяется, что
при x=1 погрешность равна $$4*10^{-4}$$ это три верных знака
при x=0,5 погрешность $$1*10^{-6}$$ это пять верных знаков
при x=0.1 погрешность $$3*10^{-12}$$ это 11 верных знаков.
Да это и не удивительно, ведь функция y=1/x является асимптотой для котангенса
(кажется я нашел подходящий пример, для ответа на ваш вопрос, но надо его еще проверить).
Последний раз редактировалось geh 28 ноя 2019, 06:38, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
zykov
Сообщений: 1777
Зарегистрирован: 02 ноя 2009, 21:00

трехчленное уравнение пятой степени

Сообщение zykov » 26 дек 2013, 07:31

geh писал(а):Source of the post Стандартный метод (разложение в ряд Тейлора) не работает там, где производная стремится к бесконечности. Я еще не придумал пример с радикалами, но вот другой пример пожалуйста. Требуется разложить в ряд Тейлора котангенс в точке x=0. Невозможно? Да?
В $$z^5-5z$$ производная вполне конечна.
Насчёт котангенса, посмотрите Ряд Лорана (изучается в ТФКП).
Последний раз редактировалось zykov 28 ноя 2019, 06:38, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

geh
Сообщений: 224
Зарегистрирован: 09 дек 2013, 21:00

трехчленное уравнение пятой степени

Сообщение geh » 26 дек 2013, 09:27

Вы допустили неточность: исходная функция была
$$z^5-5z+4a$$ и при $$a=\pm1$$ производная функции z=z(a)
обращается в бесконечность. Что касается примера, то вот есть такой:
Разложить (приближенно) функцию y=arcsinx в ряд (содержащий и радикалы)
Данная функция нечетная. (это важно)
она определена на отрезке [-1;1] (и это важно)
на концах отрезка ее производная равна бесконечности (очень важно)
Никакой ряд Тейлора при этих условиях быстро сходиться не будет!!
Так поможем ему, подберем функцию , которая обладает аналогичными свойствами.
Их много, вот некоторые из них:
$$y=\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}$$
$$y=x\sqrt{1-x^2}$$
$$y=x\sqrt{1-|x|}$$
Они похожи на арксинус, но их надо откорректировать
первая функция примет вид:
$$y=(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(1+0,11x^2)$$
вторая преобразится так:
$$y=x\sqrt{1-x^2}+\frac{\pi}2x^3$$ ну и т.д.
теперь эти функции можно уточнять, если точность невелика
я проверил только первую функцию. Ее относительная погрешность
на отрезке (на всем отрезке) [-1;1] равна 3,5%
мало? Так она и выглядит скромно. Это дело техники увеличить ее точность.
А вот теперь разложите арксинус в ряд и посмотрите: Сколько
надо взять слагаемых, чтобы вычислить $$\arcsin1$$ ??!!
Последний раз редактировалось geh 28 ноя 2019, 06:38, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
zykov
Сообщений: 1777
Зарегистрирован: 02 ноя 2009, 21:00

трехчленное уравнение пятой степени

Сообщение zykov » 26 дек 2013, 20:12

Вы определитесь, какая апроксимация нужна.
В окрестности точки часть ряда хорошо работает.
На интервале обычно делают кусочную апроксимацию.
Иногда делают и замену переменных, чтобы апроксимировать более гладкую функцию.
Последний раз редактировалось zykov 28 ноя 2019, 06:38, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
zykov
Сообщений: 1777
Зарегистрирован: 02 ноя 2009, 21:00

трехчленное уравнение пятой степени

Сообщение zykov » 26 дек 2013, 23:06

geh писал(а):Source of the post Они похожи на арксинус, но их надо откорректировать первая функция примет вид: $$y=(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(1+0,11x^2)$$
Для арксинуса выходит апроксимация $$y=\sqrt{2(1+x)}-\sqrt{2(1-x)}-(2-\pi/2)x$$, если хотите скомпенсировать особенности на плюс-минус 1.
Последний раз редактировалось zykov 28 ноя 2019, 06:38, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

geh
Сообщений: 224
Зарегистрирован: 09 дек 2013, 21:00

трехчленное уравнение пятой степени

Сообщение geh » 27 дек 2013, 06:30

Я с вами полностью согласен. Ваш пример гораздо лучше моего.
Непременно учту это при решении данного и других уравнений.
В общем вы сами ответили на свой вопрос. При решении уравнений
надо убрать особенности функций и заранее задать погрешность с
которой вы хотите получить решение и решить. Это искусство, ибо
вариантов много, а надо выбрать лучший, наиболее простой и точный.
Последний раз редактировалось geh 28 ноя 2019, 06:38, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test


Вернуться в «Алгебра и теория чисел»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 2 гостей