Корны, Бермант-Араманович о производной по направлению.

Рубен · Сообщение **Рубен** » 19 дек 2013, 11:38

homosapiens писал(а):Source of the post
Пономарьёв, тебя чо, на сайтехе забанили?

Нет (тема продолжается и поныне).

kkdil · Сообщение **kkdil** » 19 дек 2013, 12:53

Орбан И.Н.

1) Вы противоречите сами себе, то вопрошая в каких справочниках идет речь об ортогональности $d\vec{r}$ и $\vec{r}$

Рубен писал(а):Source of the post
Какое такое условие ортогональности $d\vec{r}$ и $\vec{r}$ ? В каких справочниках? Вы вообще о чем?

то отвечая (действительно, самому себе)

Рубен писал(а):Source of the post
Действительно, вектор-функция $\grad \phi(x,y,z)$ ортогональна касательной плоскости, проходящей через точку (x,y,z) (это известный факт и доказательство этому можно прочесть в любом учебнике анализа). Так как приращение $d \vec r$ радиус-вектора $\vec r$ вдоль любой линии на поверхности $\phi$ всегда лежит в касательной плоскости к $\phi(x,y,z)$ , то $\grad \phi(x,y,z) \cdot d \vec r = 0$ .

об ортогональности вектора $\grad \phi(x,y,z)$ касательной к поверхности уровня $\phi(x,y,z)=const$ плоскости, в которой и лежит вектор $d\vec{r}$ , так как в данном случае $\phi(x,y,z)=const$ при $$r=const$$

, следовательно $$dr=0$$

.

2) То, голословно обвиняя кого-то в демагогии, заявляете о неких ложных предположениях, не указывая таковых и попросту игнорируете предоставленное Вам математическое доказательство коллинеарности в этой ситуации векторов $d\vec{r}$ и $d\vec{n}_{r}$ :

$\displaystyle d \vec r \times d \vec{n}_{r}=d (r\cdot \vec{n}_{r}) \times d \vec{n}_{r}=(d\vec{n}_{r}\cdot r+\vec{n}_{r}\cdot dr) \times d \vec{n}_{r} =$
$=r(d \vec{n}_{r} \times d \vec{n}_{r})+0\cdot ( \vec{n}_{r} \times d \vec{n}_{r})=0+0=0$ .

Так как векторное произведение векторов $d\vec{r}$ и $d\vec{n}_{r}$ равно нулю, следовательно они коллинеарны.

3) То приводите не относящийся к обсуждаемому случаю пример эллипсоида, так и не порадовав функцией потенциала скалярного поля, для которого эквипотенциальными поверхностями, то есть геометрическими местами точек, в которых скалярное поле принимает постоянные значения $\phi(x,y,z)=const$ , являлись бы эллипсоиды. Вместо этого задаете глупые вопросы:

Рубен писал(а):Source of the post
Очередная глупость. С чего это ? Почему ?

Уверен, что это является для Вас откровением, но функция потенциала $\phi(x,y,z)=const$ скалярного поля принимает постоянные значения тогда и только тогда, когда $$r=const$$

. Других вариантов постоянства зависящей от расстояния функции $\phi(x,y,z)$ математике неизвестны.

Если Вы знаете еще какие-либо, отличные от постоянства $$r=const$$

, условия постоянства $\phi(x,y,z)=const$ , которые до сих пор математике были неизвестны, то милости прошу, не скрывайте этого своего уникального открытия и не держите его в себе, поделитесь на форуме с читателями!

4) Наконец, как можно судить по материалам дискуссии, я прекрасно понял, что Вы опровергали и продолжаете голословно опровергать

Рубен писал(а):Source of the post
Вектор $d\vec{n}_{r}$ ... естественно ортогонален направлению вектора $\grad \phi(x,y,z)$ .
Это утверждение ... неверно.

ортогональность $d\vec{n}_{r}$ и $grad \phi(x,y,z)$ . Доказательства же от Вас Ваших голословных заверений, что вектора $d\vec{n}_{r}$ и $\grad \phi(x,y,z)$ не являются ортогональными, до сих пор так не последовало!

Когда же Вы докажете хотя бы это свое высказывание, без которого все Ваши так называемые "возражения" - не более, чем бездоказательная демагогия?

kiv · Сообщение **kiv** » 19 дек 2013, 19:04

Уже задрал оверквотинг...

Пересмотрел все - нигде не нашел, чтоб ставили условие $\varphi(x,y,z)=\varphi(r)$ ...

Очередная очепятка?

Рубен · Сообщение **Рубен** » 19 дек 2013, 20:22

Орбан И.Н. писал(а):Source of the post так как в данном случае $\phi(x,y,z)=const$ при , следовательно .

Еще раз спрашиваю, откуда условие $$r=const$$

?

и попросту игнорируете предоставленное Вам математическое доказательство коллинеарности в этой ситуации векторов $d\vec{r}$ и $d\vec{n}_{r}$ :

$\displaystyle d \vec r \times d \vec{n}_{r}=d (r\cdot \vec{n}_{r}) \times d \vec{n}_{r}=(d\vec{n}_{r}\cdot r+\vec{n}_{r}\cdot dr) \times d \vec{n}_{r} =$
$=r(d \vec{n}_{r} \times d \vec{n}_{r})+0\cdot ( \vec{n}_{r} \times d \vec{n}_{r})=0+0=0$ .

Это не доказательство, так как выкладки неверны. Конкретно эта часть:
$(d\vec{n}_{r}\cdot r+\vec{n}_{r}\cdot dr) \times d \vec{n}_{r} =r(d \vec{n}_{r} \times d \vec{n}_{r})+0\cdot ( \vec{n}_{r} \times d \vec{n}_{r})$

так как $dr \not = 0$

Вместо этого задаете глупые вопросы:
Рубен писал(а):Source of the post
Очередная глупость. С чего это ? Почему ?

Уверен, что это является для Вас откровением, но функция потенциала $\phi(x,y,z)=const$ скалярного поля принимает постоянные значения тогда и только тогда, когда .

Кто вам сказал этот дикий бред ? Вас обманули!

Других вариантов постоянства зависящей от расстояния функции $\phi(x,y,z)$ математике неизвестны.
Если Вы знаете еще какие-либо, отличные от постоянства , условия постоянства $\phi(x,y,z)=const$ , которые до сих пор математике были неизвестны, то милости прошу, не скрывайте этого своего уникального открытия и не держите его в себе, поделитесь на форуме с читателями!

Я уже поделился в примере с элипсоидом, только вот вы этого не поняли, а остальные читатели - поняли. Ну, почитайте еще разок, может увидите наконец и поймете (в чем я сильно сомневаюсь).

Других вариантов постоянства зависящей от расстояния функции $\phi(x,y,z)$ математике неизвестны.

На каком основании вы накладываете на функцию такие жесткие условия? Функция потенциала не обязана зависеть от расстояния $$r$$

. Мы с топикстартером обсуждали функцию общего вида, о чем не раз подчеркивалось в теме как мною, так и самим топикстартером:

Ponomaryov писал(а):Source of the post С Вами будем продолжать, когда Вы докажете неверность в общем случае моего утверждения об ортогональности ВО ВСЕХ СЛУЧАЯХ векторов $\vec{grad\phi }$ и $d\vec{n_{r}}$ , прописанного ВО ВСЕХ СПРАВОЧНИКАХ.

kiv писал(а):Source of the post Пересмотрел все - нигде не нашел, чтоб ставили условие $\varphi(x,y,z)=\varphi(r)$ ...

Очередная очепятка?

Если это окажется "опечаткой", то топикстартер отправится в долгосрочный отпуск учиться формулировать задачи.
Кстати, для подтверждения / опровержения этого сам топикстартер должен появиться в теме, ответ его зама по поводу того, что имел ввиду топикстартер - не принимается

Орбан И.Н. писал(а):Source of the post Доказательства же от Вас Ваших голословных заверений, что вектора $d\vec{n}_{r}$ и $\grad \phi(x,y,z)$ не являются ортогональными, до сих пор так не последовало!

Проблемы с логикой? Вылечим! К вашему сожалению, это вы должны "доказывать", что носорог является бегемотом (а не я доказывать обратное). Ваше "доказательство" того, что эти вектора ортогональны основано на ложном предположении, что вдоль поверхности уровня $$r = const$$

, но справедливость этого вы, к сожалению, так и не доказали, а я, в свою очередь, показал, что это в общем случае не так (см. пример с эллипсом). Впрочем, это и есть доказательство того, что носорог не является бегемотом (то есть, что что вектора $d\vec{n}_{r}$ и $\grad \phi(x,y,z)$ не ортогональны).

Рубен · Сообщение **Рубен** » 20 дек 2013, 02:12

Ponomaryov писал(а):Source of the post $\vec{grad\phi }\cdot \vec{n_{r}}dr =|\vec{grad\phi }|cos\varphi d\lambda \Rightarrow$

$dr/d\lambda =cos\varphi$

Дальше продолжим, когда обоснуете математическую безупречность того, как "работает" последнее вытекающее из обсуждаемого общепринятого определения производной по направлению определение косинуса угла $\varphi$ между векторами $\vec{n_{r}}$ и $\vec{n_{\lambda }}$ .

Самое смешное то, что первое равенство в общем случае неверно (верно, если поверхность уровня -- n-мерная сфера), а второе - верно всегда. Причем, второе вообще никак не связано с первым, более того, оно вполне очевидно и доказывается без всяких дурацких градиентов.

1) Совершенно ясно, что вектора $d\mathbf {r} , \mathbf {n_r}dr$ и $rd\mathbf{n_r}$ образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой $d\mathbf {r}$ . Так же очевидно, что $d\lambda = |d\mathbf {r}|$ вдоль любой (в общем случае кривой) непрерывной линии $\lambda$ . Тогда угол между векторами $\mathbf {n_r}$ и $\mathbf {n_{_\lambda}}$ найдется по теореме Пифагора:

$\displaystyle \cos \varphi = \frac { |\mathbf {n_r}dr|} {|d\mathbf {r}|} = \frac {dr} {d\lambda}$

2) То же самое, но более формально. Производная радиус-вектора по любому направлению $\lambda$ равна: $\displaystyle \frac {d\mathbf {r}} {d\lambda} = \mathbf {n_{_\lambda}}$ .

Скалярно умножаем последнее равенство на $\mathbf {n_r}$ (т.е. проецируем на радиус-вектор, в отличии от ТС-а, опрометчиво проецировавшего равенство на градиент, который не всегда коллинеарен радиус-вектору):

$\displaystyle \mathbf {n_r} \cdot \frac {d\mathbf {r}} {d\lambda}= \frac {dr} {d\lambda} = \mathbf {n_r}} \cdot \mathbf {n_{_\lambda}} = \cos \varphi$

3) Еще, для разнообразия, это можно доказать через уравнение прямой в векторной форме. Расстояние $r(\lambda)$ от любой точки на прямой $\lambda$ до начала координат выражается формулой:

$\displaystyle r(\lambda) = \sqrt{r^2_{_0} + {\lambda}^2}$

тут $r_{_0}$ - расстояние от прямой до начала координат, $\lambda = |\mathbf {r - r_{_0}}|$ . Тогда: $\displaystyle \frac {dr} {d \lambda} = \frac {\lambda} {r} = \cos \varphi$
_____________________________________________

Единственное, что так и осталось неясным, что же всё-таки хотел ниспровергнуть ТС в этой теме?

Орбан И.Н.

Рубен писал(а):Source of the post
Орбан И.Н. писал(а):Source of the post так как в данном случае $\phi(x,y,z)=const$ при , следовательно .

Еще раз спрашиваю, откуда условие ?

Это условие оттуда, что Вы так и не привели математического примера постоянства зависящих от расстояния функций $\phi(x,y,z)=const$ , кроме $$r(x,y,z)=const$$

. Пока Вы не порадовали другим, кроме $$r(x,y,z)=const$$

, условием постоянства $\phi(x,y,z)=const$ , оно в математике было, есть и остается единственным, к сожалению для Вас.

Следовательно, для случая $\phi(x,y,z)=const$ $$dr=0$$

- вполне очевидное следствие, а Ваше очередное его бездоказательное отрицание - элементарная голословная демагогия.

Хотя, это стало уже вполне традиционным для Вас - противоречить самому себе, как в случае с Вашими взаимоисключающими высказываниями

Рубен писал(а):Source of the post

Вектор $d\vec{n}_{r}$ , по общеизвестному определению ортогональности призводной вектора постоянного модуля самому вектору $\vec{n}_{r}$
Это верно.

Вектор $d\vec{n}_{r}$ ... естественно ортогонален направлению вектора $\grad \phi(x,y,z)$ .
Это утверждение ... неверно.

Сообщаю, что, к огромному Вашему сожалению, если Вы признаете ортогональность производной единичного вектора постоянного модуля $d\vec{n}_{r}$ самому орту $\vec{n}_{r}$ ("Это верно" (с) Рубен), то своим отрицанием ортогональности производной орта $d\vec{n}_{r}$ вектору $\grad \phi(x,y,z)$ , коллинеарному направлению единичного вектора $\vec{n}_{r}$ , Вы отрицаете коллинеарность векторов $\vec{n}_{r}$ и $\grad \phi(x,y,z)$ , которую (коллинеарность $\vec{n}_{r}$ и $\grad \phi(x,y,z)$ ) сами же отразили в проблеске знания справочного материала

Рубен писал(а):Source of the post
Действительно, вектор-функция $\grad \phi(x,y,z)$ ортогональна касательной плоскости, проходящей через точку (x,y,z) (это известный факт и доказательство этому можно прочесть в любом учебнике анализа). Так как приращение $d \vec r$ радиус-вектора $\vec r$ вдоль любой линии на поверхности $\phi$ всегда лежит в касательной плоскости к $\phi(x,y,z)$ , то $\grad \phi(x,y,z) \cdot d \vec r = 0$ .

условием $\grad \phi(x,y,z) \cdot d \vec r = 0$ . Не хотелось, но приходится разочаровать Вас в очередной раз:

Если

$\grad \phi(x,y,z) \cdot d \vec r = \grad \phi(x,y,z) \cdot \vec n_{r}dr =|\grad \phi(x,y,z)|dr=d\phi(x,y,z)$ , (*)

то $\grad \phi(x,y,z) \cdot \vec n_{r} =|\grad \phi(x,y,z)|$ является справочным условием коллинеарности $\vec{n}_{r}$ и $\grad \phi(x,y,z)$ .

Следовательно, выражение (*), вполне логично, как раз и подтверждает равенство нулю $\grad \phi(x,y,z) \cdot d \vec r = 0=d\phi(x,y,z)$ изменения функции потенциала скалярного поля в каждой точке поверхности уровня $\phi(x,y,z)=const$ при $$r(x,y,z)=const$$

, а значит при $$dr=0$$

.

А так как Вы до сих пор не порадовали другим, кроме $$r(x,y,z)=const$$

, условием постоянства $\phi(x,y,z)=const$ , оно в математике было, есть и остается, к сожалению для Вас, единственным.

Итак, когда же Вы начнете обосновывать собственные высказывания и докажете, что утверждение об ортогональности векторов $d\vec{n}_{r}$ и $\grad \phi(x,y,z)$ является "неверным"?

Рубен · Сообщение **Рубен** » 20 дек 2013, 14:22

Орбан И.Н. писал(а):Source of the post Это условие оттуда, что Вы так и не привели

"Вы не привели" не может быть основанием верности ваших предположений. Оппонент не обязан доказывать ложность ваших фантазий. Но я доказал.

Вы так и не привели математического примера постоянства зависящих от расстояния функций $\phi(x,y,z)=const$ , кроме . Пока Вы не порадовали другим, кроме , условием постоянства $\phi(x,y,z)=const$ , оно в математике было, есть и остается единственным, к сожалению для Вас.

Вот он - этот пример. Если он вас не устраивает, вы обязаны аргументировать это.

Вся остальная ваша болтовня в предыдущем посте никакого интереса не представляет, т.к. основана на ложном посыле, что если $\phi(x,y,z)=const$ , то $$r(x,y,z)=const$$

.

Орбан И.Н.

Рубен писал(а):Source of the post
Других вариантов постоянства зависящей от расстояния функции $\phi(x,y,z)$ математике неизвестны.
На каком основании вы накладываете на функцию такие жесткие условия? Функция потенциала не обязана зависеть от расстояния . Мы с топикстартером обсуждали функцию общего вида, о чем не раз подчеркивалось в теме как мною, так и самим топикстартером:
Ponomaryov писал(а):Source of the post С Вами будем продолжать, когда Вы докажете неверность в общем случае моего утверждения об ортогональности ВО ВСЕХ СЛУЧАЯХ векторов $\vec{grad\phi }$ и $d\vec{n_{r}}$ , прописанного ВО ВСЕХ СПРАВОЧНИКАХ.

Вы неисправимы в искусстве противоречить самому себе, это стоит признать:

Рубен писал(а):Source of the post
Тут проверять нечего:

$\displaystyle \frac {du} {dl} = \frac { \partial u} { \partial x}\frac { \partial x} { \partial l} + \frac { \partial u} { \partial y}\frac { \partial y} { \partial l} + \frac { \partial u} { \partial z}\frac { \partial z} { \partial l}= \left(\frac { \partial u} { \partial x} \vec{i} + \frac { \partial u} { \partial y} \vec{j} + \frac { \partial u} { \partial z} \vec{k} \right) \cdot \left(\frac { \partial x} { \partial l} \vec{i} + \frac { \partial y} { \partial l} \vec{j} + \frac { \partial z} { \partial l} \vec{k} \right)$

или

$\displaystyle \frac {du} {dl} = \grad (u)\cdot \frac {d\vec{r}} {dl} = \grad (u)\cdot \vec{n}_{_l}$

Это все "работает", если функция дифференцируема в точке (x,y,z).

"Функция потенциала не обязана зависеть от расстояния r. Мы с топикстартером обсуждали функцию общего вида" (с) Рубен

"Это все "работает", если функция дифференцируема в точке (x,y,z)" (с) Рубен

Вы в обсуждении с топикстартером привели пример дифференцирования по направлению не зависящей от расстояния функции $\displaystyle \frac {du} {dl} = \grad (u)\cdot \frac {d\vec{r}} {dl} = \grad (u)\cdot \vec{n}_{_l}$ ?

Вы действительно верите, что Ваше систематическое противоречие самому себе и Ваши традиционные опровержения собственных высказываний на форуме являются доказательством неортогональности $d\vec{n}_{r}$ и $\grad \phi(x,y,z)$ ?

"Каждому дано будет по его вере." Мастер и Маргарита.

Рубен писал(а):Source of the post
Орбан И.Н. писал(а):Source of the post Это условие оттуда, что Вы так и не привели
"Вы не привели" не может быть основанием к вашим фантазиям. Оппонент не обязан доказывать ложность ваших фантазий.

Вы так и не привели математического примера постоянства зависящих от расстояния функций $\phi(x,y,z)=const$ , кроме . Пока Вы не порадовали другим, кроме , условием постоянства $\phi(x,y,z)=const$ , оно в математике было, есть и остается единственным, к сожалению для Вас.

Привел. Вот этот пример. Если он вас не устраивает, вы обязаны аргументировать это.

Вся остальная ваша болтовня в последнем посте никакого интереса не представляет, т.к. основана на ложном посыле, что если $\phi(x,y,z)=const$ , то .

Для приведенного Вами примера модуль $r(x,y,z)\ne const$ , следовательно, поверхность эллипсоида не удовлетворяет свойству поверхности уровня, а именно $\phi(x,y,z)\ne const$ .

Следовательно, посыл Вас к здравому смыслу, математически формулируемому здесь как

тогда и только тогда $\phi(x,y,z)=const$ , когда $$r(x,y,z)=const$$

является истинным, голосу которого Вы внять упорно отказываетесь, так как Ваш эллипсоид условию $\phi(x,y,z)=const$ не удовлетворяет, ведь Вы приводите противоречащий условию постоянства $\phi(x,y,z)=const$ пример $r(x,y,z)\ne const$ .

Хотя, оговорюсь, для кого-то (например для Вас), математическим доказательством является его регулярная голословная демагогия. Имеет право получать удовольствие в меру Вашего развития, это Ваше право, действительно, никто отобрать у Вас не в состоянии.

Рубен · Сообщение **Рубен** » 20 дек 2013, 14:45

Орбан И.Н. писал(а):Source of the post Вы в обсуждении с топикстартером привели пример дифференцирования по направлению не зависящей от расстояния функции $\displaystyle \frac {du} {dl} = \grad (u)\cdot \frac {d\vec{r}} {dl} = \grad (u)\cdot \vec{n}_{_l}$ ?

Конечно. Это функция точки, а не расстояния. Расстояние может не меняться, а функция менять своё значение и наоборот: расстояние меняется, а функция сохраняет своё значение. Пример я уже приводил: половина эллипсоида.

Для приведенного Вами примера модуль $r(x,y,z)\ne const$ , следовательно, поверхность эллипсоида не удовлетворяет свойству поверхности уровня, а именно $\phi(x,y,z)\ne const$ .

Как же не удовлетворяет, когда она (функция) всюду равна 0,5. Взяли эллипсоид и срезали плоскостью, параллельной плоскости OXY на расстоянии 0,5 от неё. Вот и получили поверхность уровня - эллипс.

Вы просили контрпример - вы его получили. Теперь нечего топать ножками

yourdomain.com