От перемены мест слагаемых.

[geh]

Дан ряд

Требуется его вычислить как можно точнее и обосновать вычисления
Решение:
1) ряд знакопеременный и сходится условно (признак Дирихле)
2) прямое суммирование этого ряда будет увеличивать абсолютную погрешность и
уменьшать число верных знаков. Значит надо суммировать ряд начиная с некоторого его
члена и двигаясь к началу.
3) но вот вопрос: как определить погрешность??
4) надо сказать, что в вычислениях предполагается, что относительная погрешность одна
и та же () Для миллиарда слагаемых это даст 13 верных знаков.
5) но вот еще вопрос о погрешности метода (не количества слагаемых, тут все более менее ясно)
6) пришла в голову мысль, а что если объединить в этом ряду слагаемые группами по знаку
получится новый Знакочередующийся ряд, вычислить его погрешность совсем просто.
7) элементарная оценка показала, что если в группе 3 слагаемых, то максимальная абсолютная
погрешность равна , если 4 слагаемых, то -
дело за малым. Осталось вычислить, вот его сумма:
S=1,070 796 326 300. И 8 знаков после запятой верные.
Вопрос: насколько все это верно?

[Hottabych]

Вам нужен пример ряда для обоснования метода или Вам нужен именно этот ряд? Дело в том, что этот ряд суммируется точно (получается выражение через арктангенсы)

[geh]

Я был бы вам очень благодарен если бы вы указали точное
значение этого ряда. И был бы просто счастлив если бы вы
указали направление в движении которого я сам бы смог
вывести точный ответ. (я отдаю себе отчет, что это может быть мне не по силам)

[balans]

Верно?

[Hottabych]

Source of the post


Верно?

Да
Скорее всего нужно рассмотреть ряд , найти его сумму, считая переменную комплексной, проинтегрировать по z, и найти мнимую часть от результата.

[geh]

Да, ответ верный. Спасибо вам.